Постановка краевых задач для поперечных колебаний струны. Явная схема для численного решения одномерного уравнения колебаний

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПММ-2-2-10 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПО ЯВНОЙ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЕ

Цель работы: практическая реализация и исследование явной схемы решения одномерного уравнения колебаний.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ПО КОНСПЕКТУ ЛЕКЦИЙ

1.  Постановка краевых задач для поперечных колебаний струны.

2.  Различные формы граничных условий.

3.  Явная схема для численного решения одномерного уравнения колебаний.

4.  Учет начальных условий в явной схеме для уравнения колебаний.

5.  Учет граничных условий в явной схеме для уравнения колебаний.

6.  Последовательность вычислений по явной схеме.

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

Дана смешанная краевая задача для уравнения теплопроводности

U_tt=a²U_xx+F(x,t)

в области 0≤x≤L,  0≤t≤Tmax с соответствующими начальными и граничными условиями (вариант задачи – см. в Приложении).

Выполнить следующие действия в среде Mathcad:

1)  Проверить точное решение задачи подстановкой в уравнение, начальные и граничные условия с применением символьных вычислений;

2)  Записать в текстовом блоке физический  смысл граничных условий;

3)  Составить функцию – программный блок Mathcad для численного решения краевой задачи по явной конечно-разностной схеме. 

Значения шага по координате h и шага по времени τ включить в общий список параметров.

Внутри программного блока вычисления начинать с расчета  количества шагов по координате N=L/h,  и по времени  M=Tmax/τ. 

4)  Получить численное решение краевой задачи при Tmax=1, h=0.05, a²=1построить график численного решения при t=Tmax. 

Для этого перед вызовом программного блока определить значения всех переменных и явный вид всех функций, используемых в качестве параметров (вариант задачи – см. в Приложении). 

На основании условия устойчивости вычислить максимально допустимое значение шага по времени

τmax=h/(a²)^1/2

и выбрать величину шага по времени τ=τmax (или несколько меньше - с учетом требования согласованности сетки (Tmax/τ – целое число !).

(Примечание: для некоторых задач устойчивое решение не реализуется при τ=τmax. В таких случаях следует уменьшить значении τ, не нарушая требование согласованности.

5)  С помощью отдельной функции – программного блока вычислить точное решение в тех же точках и в те же моменты времени и вычислить максимальную абсолютную погрешность численного решения;

6)  Построить общий график численного и точного решения при t=Tmax, убедиться в их согласованности;

7)  Выполнить те же действия при h=0.025 и определить, во сколько раз уменьшилась максимальная погрешность при уменьшении h.

8)  Используя результаты расчета при h=0.025,  выполнить анимацию графика для иллюстрации колебаний, связав номер столбца расчетной матрицы U (момент времени) с номером кадра FRAME.

ПРИЛОЖЕНИЕ. ВАРИАНТЫ ПОСТАНОВКИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ (a²=1)

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

Отчет по каждой лабораторной работе должен содержать распечатку МСдокумента, в котором: 1) указаны тема работы, фамилия и номера варианта исполнителя; 2) для каждой задачи приведено общее условие и условие конкретного варианта; 3) выполнены необходимые преобразования; 4) реализованы вычисления, снабженные текстовыми пояснениями.