Амплитудная спектральная диаграмма четной периодической последовательности прямоугольных импульсов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждения высшего профессионального образования

«Комсомольский-на-Амуре государственный

технический университет»

Электротехнический факультет

Кафедра «Промышленная электроника»

Расчетно-графическое задание

по дисциплине «Основы теории сигналов»

Вариант 3.2

Студент группы 0ПЭ                                                                    

Преподаватель                                                                               

2013

Содержание

1	Задача 1	……………………………………………………………….		3
2	Задача 2	……………………………………………………………….		8
3	Задача 3	……………………………………………………………….		16
4	Задача 4	……………………………………………………………….		20
5	Список использованных источников		…………………………………	23

Задача 1

Построить амплитудную спектральную диаграмму четной периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис.1, а) с длительностью  и амплитудой  при двух  значениях периода  и . Проанализировать изменение спектра последовательности в зависимости от скважности импульсов. Как изменится спектр рассматриваемой последовательности при совмещении начала отсчета времени с фронтом одного из импульсов (рис. 1, б)?

а)                                                        б)

Рисунок 1 - Четная периодическая последовательность

прямоугольных импульсов

Исходные данные:  мс,  В,  мс,  мс.

Решение:

Случай 1 (рис. 1, а)

Разложим сигнал в ряд Фурье:

  (1)

а)  мс

Так как сигнал u(t) симметричен (четный) относительно точки , то коэффициенты при синусоидальных составляющих будут равны нулю (). Обозначим отношение –  скважность последовательности. Найдем коэффициенты  и  ряда Фурье по формулам:

  (2),

   (3),

   (4).

Так как , то

Подставив выражения для коэффициентов в формулу ряда Фурье, получим:

  (5)

Так как коэффициенты при синусоидальных составляющих равны нулю, то амплитудный спектр последовательности будет представлен коэффициентами при косинусоидальных составляющих, взятых по абсолютному значению:

  (6)

б)  мс

Заменяя в формулах (5) и (6) ,  на , , получаем разложение в ряд Фурье и амплитудный спектр для случая б:

,

Таблица 1 – Амплитудные спектры

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	0.551	0.276	0	0.138	0.11	0	0.079	0.069	0	0.055	0.05	0
	0.58	0.24	0.06	0.16	0.07	0.06	0.09	0.02	0.05	0.06	0	0.05

Рисунок 2 – Амплитудный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов а для  мс

 

Рисунок 3 – Амплитудный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов а для  мс

По графикам видно, что при увеличении скважности импульсов (периода), ширина спектра возрастает, т.е. в спектре последовательности прямоугольных импульсов наблюдается большее число гармонических составляющих. Оценим ширину основного лепестка амплитудного спектров:

а) для

, , ,

а) для

, , ,

Случай 2 (рис. 1,б)

В случае, когда начало отсчета совпадает с фронтом одного из импульсов (последовательность становится нечетной), коэффициенты ряда Фурье, стоящие при синусоидальных составляющих уже не будут равны нулю. Находим коэффициенты ряда Фурье по формулам (2), (3), (4):

Выражение для ряда Фурье данной последовательности имеет вид:

Выполним преобразования:

Найдем амплитудный спектр последовательности:

Мы видим, что при совмещении начала отсчета с фронтом одного из импульсов амплитудный спектр сигнала не изменяется.

Задача 2

Определить спектральною плотность униполярного прямоугольного импульса, изображенного на рис.5. Построить АЧХ и ФЧХ спектральной плотности при заданных длительности и амплитуде импульса. С использованием полученных графиков построить аналогичные зависимости для импульсов вдвое меньшей длительности. Отобразить на графиках влияние задержки импульса на время . Сравнить спектры импульсной последовательности из задачи 1 и одиночного импульса. Длительность импульса и его величина соответствуют данным задачи 1.

Рисунок 4 – Униполярный прямоугольный импульс

Решение:

Найдем спектральную плотность униполярного прямоугольного импульса по формуле:

  (7)

или

  (8)

Запишем спектральную плотность униполярного прямоугольного импульса в виде:

,

где ,  .

АЧХ и ФЧХ спектральной плотности определяются по формулам:

,

   (9)

  (10)

Заменяя в формулах (8), (9), (10)   на  получаем спектральную плотность, АЧХ и ФЧХ для импульса вдвое короче:

Таблица 2 - Спектральная плотность прямоугольного одиночного импульса с большей длительностью

	1.6	1.589	1.558	1.506	1.435	0.727	-0.303	-0.745	0.198	-0.087
	0	500	1000	1500	2000	5000	10000	15000	20000	25000

 

Рисунок 5 – Спектральная плотность импульса с большей длительностью

Таблица 3 - Спектральная плотность прямоугольного одиночного импульса с меньшей длительностью