Электромеханические аналоги. Общность математических уравнений, описывающих колебания в механических системах и колебания тока в электрических цепях

ЛЕКЦИЯ 10.

Электромеханические аналоги.

Электроакустические преобразователи – устройства для преобразования акустических колебаний среды в электрические сигналы и наоборот, электрических сигналов в акустические колебания.

1.  Микрофоны;

2.  Громкоговорители, головные телефоны.

Существует общность математических уравнений, описывающих колебания в механических системах и колебания тока в электрических цепях.

- электрическая цепь

,                                  (10.1)

Уравнение напряжения, описывает вынужденные колебания в электрическом контуре.

- механическая система

,                                 (10.2)

Уравнение сил для линейной механической колебательной системы с одной степенью свободы.

где L, R, C – индуктивность, активное сопротивление, емкость совпадают с m, r, C – массой, коэффициентом трения, гибкостью. Искомая функция i совпадает с u, а известная u c f.

Принцип электромеханических аналогий состоит в следующем:

1.  Устанавливаются правила замены параметров механической системы – электрическими параметрами цепи переменного тока и электрическими колебательными величинами.

2.  Формируются правила соединения электрических эквивалентных элементов, при соблюдении которых поведение электрических колебательных величин (i, u) полностью  соответствует поведению элементов движения и сил в замененной системе.

3. Решается электротехническая задача с помощью метода комплексных амплитуд (или операторного исчисления). Полученное решение интерпретируется как решение для исходной механической системы обратным переходом от электрических к механическим величинам.

На основании (10.1) и (10.2) получается система замены механических величин электрическими.

Эта замена (аналогии) носит название первой системы электромеханических аналогий.

          Электромеханические аналоги соединения элементов.

Правила и схемы электрических и механических соединений

Механический элемент	Электрический аналог	Формула
Cм1 См2 u     F	u F        Cм1                        См2
Cм1                    См2 u       F	u        Cм1                       F См2
rм1 rм2 u      F	u     F        rм1                 rм2
rм1                                      rм2 u     F	u       rм1 F  rм2

При соединении двух масс общая масса равна их сумме m=m₁+m₂ – соответствует последовательному соединению индуктивностей.

Существует 3 правила, достаточные для составления эквивалентных схем по изображению механической системы:

1.  Элементы, образующие узел, соединяются в электрической схеме последовательно;

2.  Элементы, образующие цепочку – параллельно;

3.  Масса изображается в виде двухполюсного элемента, один конец которого связан с неподвижной опорой.

Некоторые электрические аналоги механических систем.

Механические	Электрические
F Cм                                                  m	v       u F       Cм                    m                                                                                                                                                        a)
F1   u1                              F2   u2	u1                       u2 F1                                 F2                             б)

Из а) видно, что аналогом контура из параллельно соединенных электрических элементов будет служить соединение механических элементов цепочкой, т.е. последовательное соединение. Аналогом для рычага служит трансформатор.  – отношение плеч рычага соответствует коэффициенту трансформации n.

Возьмем механическую колебательную систему с параллельным соединением механических элементов (т.е. узел) и приложить к их узлу силу F, тогда уравнение вынужденных колебаний будет иметь вид:

,                                   (10.2)

Аналогичное ему выражение для вынужденных колебаний электрической системы:

,                                      (10.3)

(10.3)соответствует контуру с последовательным соединением электрических элементов.

Сm                                rm      Сm              rm         m                           m                 F      u            F      u     Механическая колебательная система

;

u         m   F                          rm Cm Электрическая колебательная система

Таким образом узел механических сопротивлений и контур из последовательно соединенных электрических сопротивлений аналогичны друг другу. Тогда на частоте ω электрическое сопротивление

,                                         (10.4)

где

;                             (10.5)

механическое сопротивление

,                                      (10.6)

где

;                                (10.7)

u

f, Гц

                                                200                                                            5000                                                                                                                                                              

На рисунке изображена зависимость скорости колебаний от частоты при постоянной амплитуде приложенной силы для рассмотренной механической системы.

Для такой системы резонансная частота ; .

Добротность

,                                    (10.8)

где – ширина полосы пропускания на уровне 0,707.

            Электроакустические аналоги.

P(акустическое давление)→U(электрическое напряжение);

υ(объемная скорость) → i (электрический ток);

 (акустическое сопротивление) → (электрическое сопротивление).

Большинство применяемых в электроакустической технике преобразователей – обратимы, т.е. способны выполнять электромеханические преобразования в обоих направлениях, т.е. потери мощности при прямой и обратной передачах энергии одинаковы. Это принцип взаимности или обратимости.

По характеру колебаний электроакустические колебания относятся к электромеханическим, но не содержат масс, пружин, гибких подвесов, трущихся деталей. Все эти функции осуществляется частицами атмосферной среды, находящейся в объемах со звукоизоляцией. Эти объемы соединены с внешним пространством, трубами, отверстиями, звукопроводами. Классический представитель – резонатор Гельмгольца.

Электромеханические, электроакустические аналоги представлены ниже