Расчет цифрового фильтра нижних частот. Теория - Фильтр Баттерворта. АЧХ и ФЧХ, групповое время задержки, импульсная характеристика

Сравнить характеристики полученного фильтра с характеристиками фильтра, реализованного в пакете Filter Design программы MATHLAB.

.

Номер зачётки № 407269  Вариант №69

фильтр Баттерворта

Рассчитать цифровой фильтр Баттерворта пятого порядка, методом билинейного z преобразования. Получить схему фильтра, его основные характеристики, а так же АЧХ и ФЧХ, групповое время задержки, импульсную характеристику. Все реализовать в программе MATHLAB.

3. Теория - Фильтр Баттерворта

Фильтры являются основой для большинства приложений обработки сигналов. Типичное назначение - это извлечение или вырезка области спектра входного сигнала или определенной частоты. Используемые для кондиционирования сигналов фильтры нередко называются частотно-селектирующими, поскольку обычно разрабатываются на основе требований к частотной характеристике.

Основное значение фильтра нижних частот (далее ФНЧ) - с минимальным ослаблением передавать на выход колебания, частоты которых не превосходят заданной граничной частоты, называемой частотой среза фильтра . В то же время колебания с более высокими частотами должны существенно ослабляться.

Очевидно, для ФНЧ с частотой среза идеальная частотная зависимость коэффициента передачи мощности имеет вид:

(имеются в виду физические частоты w>0).

Такая частотная характеристика заведомо нереализуема. Обращение в нуль функции , а значит и передаточной функции противоречит известному критерию Пели – Винера.

Возникает задача подбора аппроксимирующей функции.

Один из возможных способов аппроксимации идеальной характеристики ФНЧ построен на использовании коэффициента передачи мощности

   где  - безразмерная нормированная частота.

ФНЧ, имеющий такие частотные свойства, называют фильтром с максимально-плоской характеристикой или фильтром Баттерворта. Целое число n=1,2,3,… является порядком фильтра. При любом n фильтр реализуем.

В полосе пропускания фильтра, т.е. при , квадрат модуля коэффициента передачи плавно уменьшается с ростом частоты. На частоте среза ослабление, вносимое фильтром, составляет - 3дБ независимо от порядка системы. Чем больше n, тем точнее аппроксимируется идеальная форма частотной характеристики.

4. Расчет цифрового фильтра методом билинейного z преобразования

Данный метод позволяет синтезировать рекурсивный дискретный фильтр по частотной характеристике аналогового прототипа.

Функция передачи аналоговой цепи с сосредоточенными параметрами представляет собой дробно-рациональную функцию переменной s. Чтобы получить функцию передачи дискретного фильтра, необходимо перейти из s-области в z-область, причем дробно-рациональный характер функции должен сохраниться.              

Поэтому замена для переменной s должна представлять собой также дробно-рациональную функцию переменной z. Чтобы частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров были связаны простой зависимостью, искомая замена переменной должна отображать мнимую ось в s-области на единичную' окружность в z-области. В этом случае частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров будут связаны лишь трансформацией частотной оси и никаких искажений «по вертикали» не будет.

Простейшей из функций, удовлетворяющих перечисленным требованиям, является  билинейное z-преобразование (bilinear transformation):

Пусть нам дана передаточная функция для фильтра Батерворта пятого порядка:

Коэффициент передачи

где Гц, Гц 

Подставляем w и получаем:

Принимаем   

Гц

Приведем полученное выражение к виду:

где,

ao = 0.14                                                         bo = 1

a1 = 0.7                                                           b1 = -1.37

a2 = 1.4                                                           b2 = -1.29

a3 = 1.4                                                           b3 = -0.6

a4 = 0.7                                                           b4 = -0.17

a5 = 0.14                                                         b5 = -1.92

Полученные  коэффициенты используем для построения фильтра  в программе MATHLAB.   

5. Реализация фильтра в MATHLAB

Для реализации фильтра в программе MATHLAB, используем прямую реализацию рекурсивного фильтра. (так как в схеме присутствуют обратные связи). При этом левая часть отображает числитель, а правая знаменатель. Количество усилителей соответствует количеству коэффициентов, а степень при z соответствует задержке. Все это подаем на сумматор, чтобы осуществлялась обратная связь. Результат на осциллографе.

5.1. Элементы схемы

Осциллограф:

Сумматор:

Задержка:

Усилитель:                  

Генератор импульсов:      

Аналоговый фильтр Баттерворта:

5.2. Полученные осциллограммы

6. АЧХ и ФЧХ, групповое время задержки, импульсная характеристика