Прямой подсчёт по определению Бернулли – Лапласа. Вычисление искомой вероятности с использованием противоположных событий

Учебно-методическое пособие

Составитель:

Пособие рассмотрено и одобрено методической комиссией факультета информатики.

Декан факультета информатики, доцент         

Председатель методической комиссии, профессор         

Методическое пособие предназначено в помощь освоению простейших понятий теории вероятностей и ориентировано на студентов факультета информатики. Пособие составлено в форме ответов на варианты контрольных задач, предлагавшихся к решению в течение семестра. Ответы даны в развёрнутом виде с подробными теоретическими и методическими комментариями, что должно помочь при подготовке к экзамену.

Данный документ «выкладывается» в сеть факультета в сессию, начиная с зачётной недели. Студенты, не успевшие к этому моменту решить какие-либо задачи своего варианта, теперь будут решать аналогичные уже на экзамене.

Реализовано пособие в печатном и электронном виде. При работе с электронным вариантом для быстрого листания по разделам документа можно использовать механизм гиперссылок, заложенный в оглавлении. Места ссылок выделены там жёлтой заливкой. Вернуться на начало документа всегда можно с помощью клавиш клавиатуры Ctrl + Home.

©. Ю.В: 2004

Оглавление

вариант  № 1.................................................................................. 4

вариант  № 2 ................................................................................. 6

вариант  № 3 ................................................................................. 7

вариант  № 4 ................................................................................. 9

вариант  № 5 ............................................................................... 11

вариант  № 6 ............................................................................... 15

вариант  № 7 ............................................................................... 16

вариант  № 8 ............................................................................... 19

вариант  № 9 ............................................................................... 21

вариант  № 10 ............................................................................. 22

вариант  № 11 ............................................................................. 24

вариант  № 12 ............................................................................. 27

вариант  № 13 ............................................................................. 29

вариант  № 14 ............................................................................. 31

вариант  № 15 ............................................................................. 32

вариант  № 16 ............................................................................. 35

вариант  № 17 ............................................................................. 36

вариант  № 18 ............................................................................. 38

вариант  № 19 ............................................................................. 41

вариант  № 20 ............................................................................. 43

вариант  № 21 ............................................................................. 44

вариант  № 22 ............................................................................. 47

вариант  № 23 ............................................................................. 48

вариант  № 24 ............................................................................. 50

вариант  № 25 ............................................................................. 53

вариант  № 26 ............................................................................. 54

вариант  № 27 ............................................................................. 57

Литература........................................................................................ 60

вариант  № 1 

  I
. В урне 2 белых и 4 чёрных шара. Двое поочерёдно наугад вынимают по шару (без возвращения). С какой вероятностью первый вынет белый шар первым?

Ответ:

Первый способ решения. Вычислим искомую вероятность, используя противоположные события. Вероятность проиграть в 1-м туре есть . Иначе вероятность выйти во 2-й тур есть . А вероятность при этом проиграть во 2-м туре есть . Тогда вероятность всё-таки выиграть получается как:

.

Второй способ решения. Вероятность первому вынуть белый шар в 1-ом туре (соб. ) есть . Вероятность первому вынуть белый шар при 2-м вытаскивании (соб. ) есть . Вероятность первому вынуть белый шар в 3-м (последнем) туре (соб. ) есть .События  и  являются несовместными, поэтому искомая вероятность может быть вычислена как:

.

  II. Бросается правильная игральная кость. И пусть событие  заключается в выпадении числа очков меньше 6, а событие  состоит в выпадении числа очков больше 2. Тогда что представляет из себя условное событие  и какова его вероятность?

Ответ:

Событие , причём у события  элементарных исходов 5; поэтому искомая вероятность есть: .

  III. (Задача А.Н. Колмогорова, приводящая к логнормальному распределению). Найти плотность распределения  новой НСВ , когда старая СВ распределена нормально, т.е. .

Ответ:

Прямое преобразование  здесь есть , а обратное ему  имеет вид . Причём последняя функция имеет положительную производную . Тогда по правилу трансформации плотности НСВ при её монотонно возрастающем преобразовании [1, §12.1] имеем:

           (1.1)

Это и есть плотность логнормального закона распределения; её график и свойства см., к примеру, в [2, с.431; 5].

Логнормальный закон широко используется в теории надёжности; им хорошо аппроксимируется распределение атмосферных помех при распространении радиосигнала. Колмогоров пришёл к этому закону в результате анализа размеров осколков при дроблении породы (то же – и при разрыве снаряда).

Действительно, при элементарном воздействии  на кусок породы размер осколка  пропорционален, очевидно, размеру куска . Т.е. имеет место дифуравнение , решением которого является экспонента . Если воздействие  нормально, то это и ведёт к логнормальному закону для .

вариант  № 2

  I. Два игрока по очереди бросают уравновешенную игральную кость. Выигрывает тот, у кого очков больше. С какой вероятностью выиграет первый?

Ответ:

Прямой подсчёт по определению Бернулли – Лапласа (с учётом, что достаточно рассмотреть всего один тур) даёт результат .

  II. По данным переписи (1891 г.) Англии и Уэльса было установлено, что тёмноглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 5% обследованных, тёмноглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 8% обследованных, светлоглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 9% обследованных, а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 78% обследованных. Определить, какова вероятность рождения светлоглазого сына у тёмноглазого отца?

Ответ:

Обозначим как событие  встречу в ходе переписи тёмноглазого отца (при этом противоположное событие  – встреча светлоглазого отца). Далее обозначим как событие  встречу в ходе переписи тёмноглазого