Термодинамика стационарного потока. Уравнение механической энергии потока. Массовый расход. Скорость потока. Скорость звука

ГЛАВА 7  ТЕРМОДИНАМИКА СТАЦИОНАРНОГО

ПОТОКА

7.1 Уравнение механической энергии потока

Непрерывное течение газа рассматривается в термодинамике как равновесный процесс. Принимается, что течение – пространственно одномерное, т.е. параметры потока газа: давление р, температура Т, скорость w и плотность ρ и др. изменяются только в направлении течения и, что течение - стационарное (установившиеся), т.е. параметры не изменяются во времени τ; расход газа G=const(τ); ∂p_/∂τ= 0;  ∂T _/∂τ= 0;  ∂w/∂τ= 0;  ∂ρ/∂τ= 0.

Принимается также, что течение - адиабатное, т.е. dq=0, изоэнтропийное, т.е. ds = 0, что техническая работа не совершается (dl_техн = 0) и что пьезометрическая высота не изменяется (dy=0).

Для определения параметров потока (w, p, T, ρ) в каждом поперечном сечении по длине канала f_x решается при сделанных допущениях следующая система уравнений:

-  уравнение энергии (уравнение 1-го закона термодинамики):

 w²  dh + d 2 = 0;                                                 (7.1)

-  уравнение движения (Бернулли):

 w² 

vdp + d 2 = 0;                                                 (7.2)

-  уравнение неразрывности (уравнение расхода):

G = wρf = wf /v;                                                (7.3)

-  уравнение состояния для газа:

 pv = RT .                                                      (7.4)

Для несжимаемой жидкости принимается v = const .

Уравнения энергии (7.1), Бернулли (7.2) и неразрывности (7.3) справедливы для жидкостей и газов. Запись уравнения состояния (7.4) определяет в каком состоянии: жидком или газообразном, находится термодинамическая система. Из сопоставления уравнений (7.1) и (7.2) следует, что

 w² 

dh = c_pdT = vdp = −d_ ₂ _ = −wdw,                               (7.5) т.е. с ростом скорости w в адиабатном потоке газа его энтальпия h, температура Т и давление р уменьшаются.

7.2 Массовый расход. Скорость потока. Скорость звука

Рассмотрим стационарное течение в канале (G=const). Из уравнения расхода:

_G ^{= fw} , или Gv = fw,                                    (7.6) v

после его дифференцирования имеем:

Gdv = fdw + wdf .                                    (7.7.)

Разделим выражение (7.7) на уравнение (7.6) почленно. Тогда имеем:

                                                                  dv     dw    df            df     dv    dw

= + , или = − .                     (7.8) v w f f v w

Из уравнения адиабатного процесса pv^k = const после дифференцирования получим:

 v^kdp + kpv^k−1dv = 0, или vdp + kpdv = 0.                (7.9)

Разделим выражение (7.9) на kpv. Тогда:

 dv                                     dp v  wdw

= − ⋅ = ₂ .                                 (7.10) v kp v a

где kpv = kRT = a² ; 

а – скорость звука, м/с; 

После подстановки выражения (7.10) в уравнение (7.8) имеем:

                                                                                  df      wdw    dw

= ₂ − ,                                     (7.11) f a w

или 

^df = (M ² −1)^dw ,                                   (7.12) f  w

где M = w/a - число Маха. 

Правая часть уравнения для адиабатного изоэнтропийного течения идеального газа (7.12) содержит основные параметры потока: число Маха и изменение скорости dw/ w, а левая часть – отражает воздействие на течение среды изменения площади поперечного сечения канала df, т.е. формы канала.

7.3 Параметры торможения

Для конечного участка потока 1-2 уравнение энергии имеет вид:

h₁ + ^w12 = h₂ + ^w22 = h + ^w2 = h* = const,                   (7.13)

                                                                2              2             2

где h* - полная энтальпия, или энтальпия адиабатного торможения при скорости потока w=0. 

Таким образом, при движении газа его полная энергия, состоящая из кинетической энергии видимого движения и энергии, выражаемой энтальпией h=u+pv, остается постоянной. Всякое изменение кинетической энергии вызывает соответствующее изменение его энтальпии, а, следовательно, и температуры. В соплах скорость увеличивается, а температура уменьшается. В диффузорах скорость уменьшается, а температура увеличивается.

При полном торможении потока (w=0) температура принимает наибольшее значение и называется температурой полного торможения Т*. Для идеального газа с_р=const, h=c_pT и h*=c_pT*. Тогда из уравнения (7.13) следует, что:

                                                                                            2                                                 2

                                                                                        w                               ^w

                                                             c_pT*=c_pT+ ,   или   T*= T +                    ,                  (7.14)

                                                                                          2                              2c_p

где Т – статическая температура (температура движущейся среды). В уравнении (7.14) второй член правой части преобразуем к следующему виду:

w2 = w2 a2 = M 2 kRT =TM 2 k(cp −cv)= к−1ТМ2,

2

                               2c_p         2c_p a              2c_p                          2kc_v                2

где R=c_p-c_v по уравнению Майера;

c_p=kc_v, 

M=w/a – число Маха;  a²=kRT;  а – скорость звука. 

Тогда окончательно получим выражение для расчета температуры