Кривая производственных возможностей (КПВ). Равномерность использования ресурсов. Максимальное и альтернативное замещение, страница 2

Без ограничения общности можем предполагать, что r₁ £ r₂ (иначе перенумеруем производственные мощности). тогда, поскольку r₁ минимально (следовательно,  максимально), и  то ресурс 1-й мощности, используемый для производства единицы 2-го продукта даст максимальное () количество 1-го (при этом потери 2-го, r_k x, как уже говорилось, будут минимальны). Таким образом, производство 1-го продукта нужно начинать на первой производственной мощности, а второго - напротив, со второй, только тогда будет обеспечено условие максимальности. Итак, сначала производство 1-го продукта будет происходить на первой мощности, замещая возможное производство 2-го продукта (линейно, как в п.1) с объема  b₁  до  0, а возможное общее производство 2-го продукта будет линейно падать с  b₁ + b₂  до  b₂. Дальнейшее замещение 2-го продукта будет происходить на второй мощности. Это в точности соответствует возрастанию переменных по осям с 0 в том же расположении  a_k  и  b_k  по осям, если на осях x и y откладываются общие количества (с обеих мощностей) 1-го и 2-го продуктов соответственно. В результате получим следующую КПВ (рис.2)

Рис.2                                                                            Рис.3

На рис.2 точки  A = (a₁+a₂, 0), B = (0, b₁+b₂), P = (a₁, b₂), N лежит на прямой BP, PQïçOx, ÐAPQ = a₂. Поскольку r_k = tga_k, то  a₁ < a₂; значит, PN лежит между PQ и PA, поэтому ÐBPA < p. Следовательно (используем факты геометрии), многоугольник OBPA (ОУС для данной экономической системы) выпуклый и его граница, ломаная BPA (КПВ), выпукла вверх [1, c.335].

Если производственных мощностей более двух, то, нумеруя их в порядке возрастания показателей замещения 1-го продукта (r₁ £ r₂ £...) или соответственно убывания показателей замещения 2-го продукта (), получим для КПВ выпуклую вверх ломаную, изображенную на рис.3. Ограничиваемый ею (и, разумеется, осями координат) выпуклый многоугольник будет ОУС для рассматриваемой модели (системы). Если точка (x₀,y₀) принадлежит ОУС и x₀ лежит на основании k-го звена ломаной с общим уравнением A_kx + B_ky + C_k = 0, B_k > 0 (a_k-1 £ x₀ £ a_k), то A_kx + B_ky + C_k £ 0.

Как уже говорилось, наиболее эффективным производство 1-го продукта будет на 1-м отрезке (1-й производственной мощности), далее эффективность будет убывать по мере роста аргумента  х, т.е. роста объемов выпуска; производство 2-го продукта - наоборот, на последнем, но при нумерации в порядке возрастания х - а в порядке возрастания у этот отрезок будет первым, поэтому и для второго продукта эффективность производства будет убывать с ростом произведенных объемов. Эта закономерность называется в экономике законом возрастающих затрат. Для рассмотренной модели замещения рост затрат равносилен росту объема альтернативного продукта, от производства которого придется отказаться для производства каждой следующей единицы данного продукта. Эта форма рассматриваемого закона называется законом возрастающих альтернативных затрат.

Как мы далее увидим, этот закон носит в экономике общий характер и остается справедливым и для гладких функций затрат и для гладкой КПВ (а не ломаной). Из него следует, что гладкая КПВ будет выпуклой вверх функцией.

П р и м е р  [5, см.зад.3.15]. Предположим, в Грузии один крестьянин производит 2000 кг белого винограда или 3000 красного; а в Азербайджане - 4000 кг белого винограда или 1000 кг красного. Всего виноградарством в Грузии занято 400 тыс. чел., а в Азербайджане - 100 тыс. Пусть президенты стран подписали соглашение об эффективном разделении труда в виноградарстве.

1. Какой будет граница их общих производственных возможностей после подписания соглашения?

2. Предположим, что внутреннее потребление Грузии составляет 800 тыс.т красного винограда       и 270 тыс.т белого, а Азербайджана - соответственно 40 и 200 (тыс.т). Сумеет ли удовлетворить внутренний спрос каждая из стран при раздельном производстве и при совместном соответственно?

Р е ш е н и е. Условие молчаливо предполагает: все крестьяне этих стран одинаковы (в производстве винограда), все параметры сохранятся после объединения. По условию имеется 2 продукта, красный виноград будем считать 1-м продуктом, белый - 2-м. Для Грузии a = 3 (т) ´ 400 (тыс.чел) = 1200 (тыс.т), b = 2 ´ 400 = 800 (тыс.т), откуда r = b/ a = 2/3. Для Азербайджана a = 1 ´ 100 = 100 (тыс.т), b = 4 ´ 100 =   = 400 (тыс.т), r = b/ a = 4. Для возрастания показателей замещения 1-го продукта будем считать Грузию первой производственной мощностью, Азербайджан - второй. Тогда a₁ = 1200, b₁ = 800, r₁ = 2/3 и a₂ = = 100, b₂ = 400, r₂ = 4, b₁ + b₂ = 1200, a₁ + a₂ = 1300. Дальнейшее очевидно. Граница совместного производства будет иметь вид

2. Уравнение КПВ для Грузии:  или 2x + 3y = 2400. Для точки потребления (800, 270) имеем  значит, такой уровень потребления потребует импорта одного из продуктов. Уравнение КПВ для Азербайджана:  или 4x + y = 400. Для точки потребления (40, 200) имеем  значит, она принадлежит ОУС.

Совместное распределенное потребление дает точку (x₀, y₀) = (840, 470); так как a₁ = 840 < 1200, нуж-но выписать уравнение 1-го звена КПВ. Поскольку отрезок проходит через точки (0, 1200) и (1200, 400), ее уравнением будет  (уравнение через 2 точки:  [1, c.125]) или . Можно рассуждать иначе: этот отрезок параллелен КПВ Грузии  со сдвигом на 400 по оси Oy, поэтому его уравнение: . Отсюда  значит, точка потребления (840, 470) лежит в ОУС.

При этом максимальные размеры свободных продуктов будут составлять:  y₀ = 170 (тыс.т), (тыс.т).