Последовательности и ряды. Прогрессия банковских кредитов. Последовательность значения элементов

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

Последовательность — набор из элементов любой природы, занумерованный натуральными числами. Каждый член последовательности называется ее элементом. У каждого элемента есть его номер и значение. Явная формула — соотношение между номером элемента и его значением. Пример: 1, 2, 3, 4, 5 … 3, 6, 9, 12, 15 … Рекуррентный способ — способ задания значения элемента последовательности через значение предыдущих элементов.

Задача: сколько родится кроликов за год от одной пары, если через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Ясно, что количество пар кроликов приносящих потомство в этом месяце равно сумме пар кроликов в предыдущем и предпредыдущем месяце. Обозначим число кроликов в этом месяце за an, тогда an = an–1 + an–2 Последовательность Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… Интересен факт: Это соотношение называется золотым сечением.

Прогрессия банковских кредитов: когда процент начисляется сразу на всю сумму займа (вместе с предыдущими процентами). Задача: В банк положили 100000 руб. под 10% годовых. Сколько будет через год, через два? Пусть b1 — начальное количество денег, q — процент. через год: b2 = b1∙q = 100000∙1,1 = 110000 p. через два: b3 = b2∙q = b1∙q2 = 110000∙1,1 = 121000 p. через 10 лет: b11 = b1∙q10 через n – 1 лет: bn = b1∙qn–1 Эта последовательность может быть предоставлена как рекуррентно, так и явно: bn = bn–1∙q bn = b1∙qn–1

Последовательность значения элементов которых представимы в таком виде называются геометрическими прогрессиями, q называется знаменателем геометрической прогрессии. Сумма конечного числа элементов прогрессии: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Рекуррентная формула арифметической прогрессии: an = an–1 + b d — разность арифметической прогрессии Сумма первых n элементов арифметической прогрессии:

Последовательность an является бесконечно малой величиной, если для любого ε найдется номер N0 такой, что для всех N > N0 выполнено: |an| < ε. Последовательность — бесконечно малая. Число А называется пределом последовательности an, если последовательность |А – an| — бесконечно малая величина. Для последовательности пределом является 0. Пределы последовательности an: Рассмотрим последовательность: Не всякая последовательность имеет предел.

Ряды

Сумму последовательности an принято обозначать: В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всегда конечна. Чтобы найти сумму ряда, строят последовательность из частичных сумм ряда: Если предел последовательности SN существует, то ряд называется сходящимся. Если предела частичных сумм не существует ряд называется расходящимся.