Обозначение координат и единичных векторов. Обозначения величин. Некоторые формулы векторной алгебры

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

, ,

,

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Рязань 2005

Министерство образования и науки Российской Федерации

Рязанская государственная радиотехническая академия

, ,

,

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Учебное пособие

Рязань 2005

УДК 538.3

Сборник задач по электродинамике: Учеб. пособие / А.И.Бакулин, Б.В.Кагаленко, Н.И.Шамеева, Г.Г.Юмашева; Рязан. гос. радиотехн. акад. Рязань, 2005. 80 с. ISBN 5-7722-0076-3.

Настоящее учебное пособие дополняет лекционный материал по курсу "Электродинамика и распространение радиоволн". Содержит двенадцать разделов, представленных задачами, а также соответствующими формулами и определениями.

В разделе "Приложения" даны основные единицы измерения физических величин по международной системе единиц (СИ), классификация электромагнитных волн, сводка применений дифференциального оператора, корни функций Бесселя, приведены ответы  и  библиографический список.      

Предназначено для студентов дневной и вечерней форм обучения специальностей 200700, 201000, 201200, 201600, 230200.

Табл. 9. Ил. 67. Библиогр.: 7 назв.   

Электродинамика, поле, волновод, резонатор, вибратор

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанской государственной радиотехнической академии.

Рецензент: кафедра РУС Рязанской государственной радиотехнической академии (зав. кафедрой проф. С.Н.Кириллов)     

Б а к у л и н  Анатолий Иванович

К а г а л е н к о  Борис Васильевич

Ш а м е е в а  Нелли Измайловна

Ю м а ш е в а  Галина Гавриловна

Сборник задач по электродинамике

Редактор Р.К. Мангутова

Корректор С.В.Макушина

Подписано в печать 26.04.05. Формат бумаги 60х84 1/16.

Бумага газетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 5,0.

Уч.-изд. л. 5,0. Тираж 150 экз. Заказ   

Рязанская государственная радиотехническая академия.

390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

Редакционно-издательский центр РГРТА.

ISBN 5-7722-0076-3            ©            Рязанская государственная радиотехническая академия, 2005

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Обозначение координат и единичных векторов

 - декартовы координаты;

 - единичные векторы в декартовых координатах;

 - цилиндрические координаты; 

 - единичные векторы в цилиндрических координатах:

 - сферические координаты;

 - единичные векторы в сферических координатах.

Обозначения величин

 - векторный потенциал поля;

 - магнитная индукция, Тл;

 - электрическая емкость, Ф;        

 - скорость света (3×10⁸ м/с);

 - электрическое смещение, Кл/м²;

 -  напряженность электрического поля, В/м;

 - электродвижущая сила, В;

 - частота, Гц;              

 - напряженность магнитного поля, А/м;

 - сила тока, А;            

 - объемная плотность тока, А/м²;

 - поверхностная плотность тока, А/м;

 - линейная плотность тока, А;  

 - индуктивность, Гн;

 - взаимная индуктивность, Гн;

 -мощность, Вт;       

 - добротность;        

 - объемная плотность заряда, Кл/м³;

 - поверхностная плотность заряда, Кл/м²;

 - линейная плотность заряда, Кл/м;

 - радиус-вектор;

 - текущее значение paдиyca в сферической системе координат;

 - электрическое сопротивление, Ом;     

 - удельное поверхностное сопротивление, Ом;     

 - период, с;

 - время, с;

 - электрическое напряжение, разность потенциалов, В;

 - фазовая скорость электромагнитной волны, м/с;

 - групповая скорость электромагнитной волны, м/с;

 - энергия, Дж;     

 - волновое сопротивление, Ом;    

 - характеристическое сопротивление, Ом;

 - коэффициент затухания, 1/м;

 - коэффициент фазы, 1/м;

 - удельная проводимость, См/м;

 - диэлектрическая проницаемость (относительная);

 - электрическая постоянная (1/120), Ф/м;

 - абсолютная диэлектрическая проницаемость, Ф/м;

 - длина волны, м;

 - длина волны в волноводе, м;

 - магнитная проницаемость (относительная);

 - магнитная постоянная (120/с), Гн/м;

 - абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м;

 - коэффициент распространения волны, 1/м;

 - вектор Пойнтинга, Вт/м²;

Ф - магнитный поток, Вб;

 - потенциал (скалярный), В;  

 - магнитное потокосцепление, Вб;    

 - круговая частота, рад/с;      

   - коэффициенты отражения;

    - коэффициенты прохождения.          

1. ВЕКТОРЫ

Некоторые формулы векторной алгебры

Скалярное произведение векторов  и :

, где  - угол между направлениями  и .

Векторное произведение векторов  и

где  - единичный вектор нормали к плоскости векторов  и , причем ,  и  образуют «правую тройку» векторов.

В краткой записи

.

Векторное произведение некоммутативно .

Векторно-скалярное (смешанное) произведение ,  и

.

Двойное векторное произведение векторов ,  и  

.

Операции векторного анализа

Для математического  описания   физического  состояния  точек пространства вводят понятия скалярных и векторных полей.

Одной из  характеристик  скалярного поля  является градиент () - вектор, показывающий величину и направление наибыстрейшего возрастания скалярного поля.        

Направление градиента всегда перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности (поверхности  равного уровня) и параллельно касательной к силовой линии поля в данной точке.

В декартовой системе координат

.

Дифференциальными характеристиками векторного поля  являются скалярная величина - дивергенция () и векторная величина - ротор (). 

Значение дивергенции равно плотности источников рассматриваемого поля в заданной точки  пространства.

Дивергенцию векторного поля  вычисляют путем дифференцирования его проекций по соответствующим координатам.

В декартовой системе координат

, в цилиндрической системе

, в сферической системе координат 

.

В декартовой системе координат     

Если =0, то поле является потенциальным. Векторное поле , удовлетворяющее во всех точках рассматриваемой области условию =0, называется соленоидальным.                             

Соответствующими интегральными характеристиками векторного поля являются поток через замкнутую поверхность и циркуляция вектора .

Потоком вектора  сквозь замкнутую поверхность  называется интеграл вида .

Циркуляцией вектора   по замкнутому контуру  независимо от физического смысла вектора  называется интеграл вида .

Поток и циркуляция - величины скалярные. В частном случае, когда вектор  имеет смысл вектора силы, указанный интеграл выражает работу силы по контуру  .

Дифференциальные операции со скалярными и векторными полями удобно записывать с помощью оператора Гамильтона . Применительно к скалярному полю  ; относительно векторного поля , .

Из дифференциальных операций второго порядка в электродинамике часто используется оператор Лапласа . Для скалярного поля , для векторного поля .

Оператор Лапласа в различных координатных системах записывается следующим образом: в декартовой системе

, в цилиндрической системе   

, в сферической системе координат

.

Графически векторные поля изображают с помощью силовых линий. В каждой точке силовой линии вектор поля касателен к ней. Густота силовых линий соответствует интенсивности поля. Дифференциальное уравнение силовых линий в декартовой системе координат имеет вид:

.

Для решения задач векторного анализа часто бывает удобно пользоваться формулой Грина  , теоремой Стокса    , теоремой Остроградского-Гаусса  .

Задачи

1.1.  Найти сумму и разность двух векторов  и :

; .

Показать, что эти векторы ортогональны.   

1.2.  Доказать коллинеарность векторов  и :

; .

1.3. Найти скалярное, векторное произведения и угол между векторами  и : ; .

1.4. Найти уравнение силовой линии вектора .

1.5. Построить поле радиус-вектора .

1.6. Построить поле вектора .

1.7. Найти уравнение линии вектора .

1.8. Задан потенциал.

Найти градиент этого потенциала. Какую форму будyт иметь эквипотенциальные поверхности?

1.9. Даны векторы и :

; .

Найти градиент скалярного произведения этих векторов.

1.10. Подсчитать поток радиус-вектора  сквозь полную поверхность прямого