Дискретное преобразование Фурье. Дискретизированный сигнал и его спектр. Дискретный спектр и соответствующий ему сигнал

Страницы работы

12 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

использовании ДПФ чаще всего возникают три проблемы: появление ложных спектральных составляющих, замывание спектральных составляющих, паразитная амплитудная модуляция спектра (искажение). Рассмотрим эти явления подробнее.

1.Появление ложных спектральных составляющих (рис. 4) – это явление, при котором высокочастотные компоненты функции времени могут быть приняты за низкочастотные. Причина – недостаточная частота дискретизации (неправильный выбор ωв ).

 

Рис. 4. Появление ложных спектральных составляющих

2.Размывание спектральных составляющих. Это явление возникает из-за того, что анализируется ограниченный массив данных. Отбрасывается все, что происходит до и после периода наблюдений, что эквивалентно умножению сигнала на прямоугольную выделяющую функцию с соответствующим изменением спектра (рис. 5).

Рис. 5. Размывание спектральных составляющих: а – непрерывный сигнал и его спектр; б – прямоугольная выделяющая функция и ее спектр; в – результирующий сигнал и его спектр

Стандартный способ уменьшения этого явления – умножение сигнала на такую выделяющую функцию, которая имеет меньшие боковые лепестки. Однако снижение уровня боковых лепестков дается ценой расширения главного лепестка спектра окна, что приводит к ухудшению разрешения. Следовательно, необходим какой-то компромисс между шириной главного лепестка и уровнем подавления боковых лепестков. Существует  много выделяющих функций, обладающих различными свойствами.

3.Паразитная амплитудная модуляция спектра.  Каждому коэффициенту Фурье соответствует фильтр с частотной характеристикой

K( )ω вида sin x x (рис. 6, а). Это справедливо для случая прямоугольной выделяющей функции.

Главные лепестки представляют собой  N  независимых фильтров. Входной сигнал exp(j tω ) с частотой, кратной 1Δt , пройдет через соответствующий фильтр без изменений. Другие фильтры его подавят.

Эффект паразитной модуляции проявляется, когда вычисляются спектральные составляющие на частотах, не совпадающих с частотами, кратными 1Δt . В наихудшем случае, когда рассчитывается сигнал между фильтрами, его уровень равен 0,647. Избежать этого эффекта можно двумя путями:

рассчитывать спектры на частотах, кратных частоте 1Δt

-  если необходимо вести расчеты и на других частотах, то массив из N1 исходных данных дополняют N2 нулями, т.е. увеличивают период повторения исходного сигнала. При этом  число фильтров ДПФ увеличивается, а расстояние Δ f между центральными частотами уменьшается (рис. 6 б)

Δ f =1 T =1 N1Δt,  Δ f ′ =1 T =1 (N1 + N2t .

Полоса пропускания фильтра не изменяется, т.к. она определяется величиной 1Δt .

При N1= N2 передаточные функции K(ω) имеют вид:

                 Δω2 2Δω2 3Δω2 4Δω2 5Δω2 6Δω2                                                1            2

                                     б                                                                    .

Рис. 6. Частотная характеристика ДПФ: а - N1 отсчетов; б - N1 отсчетов и N2  нулей

1.4. Быстрое преобразование Фурье 

Алгоритм ДПФ имеет существенный недостаток: большое число вычислительных операций. Для вычисления всех  N спектральных коэффициентов требуется  N2  умножений  и столько же сложений.

Поэтому на практике часто применяют быстрое преобразование Фурье (БПФ). Суть этого алгоритма заключается в многократном членении заданной последовательности временных отсчетов на более короткие последовательности. Поясним достигаемый при этом выигрыш на примере одного первого разбиения.

Пусть задана последовательность отсчетов х(k), k = 0,1,..., N −1, причем N = 2r , где r - целое число. Разобьем эту последовательность на две последовательности, содержащие соответственно четные отсчеты хI (k)= x(2k) и  нечетные отсчеты хII ( )k = x(2k +1). Введем обозначение WN =exp(− πj2 N). С учетом равенств WN2 =WN2 ; WN2kn = WN2kn  для четной последовательности отсчетов ДПФ имеет вид: 

N 2 1−                                                                                                      N 2 1− n =01, ,..., N2 1− . 

k=0                                           k=0

Для нечетной последовательности отсчетов ДПФ имеет вид:

N2 1−                                                            N2 1−

x(2k +1)WN(2 1k+ )n =WNn xII ( )k WN 2kn =WNn SII ( )n ,

k=0           k=0 n =01, ,..., N2 1− .

Фазовый множитель WNn =exp(− j n2 πN)  перед второй суммой учитывает задержку последовательности {xII (п)} на один интервал относительно последовательности {x nI ( )}. 

Спектры S nI ( ) и SII (n) также периодические, но с периодом N2 .

 Найдем результирующий спектр. Для частот τ = 0,1,..., N 2 −1 учтем периодичность спектров S nI ( )= S n NI ( −2);

SII ( )n = SII (n N 2). Кроме того, надо учитывать перемену знака перед фазовым множителем при  n N2:

WNn =WNN 2+ −n N 2 =WN N 2WNn N2 = −WNn N2,

т.к. WN N2 = exp[(− jN N)( 2)]= exp(− jπ = −) 1.

В результате получаем выражение для вычисления всей последовательности отсчетов спектра:

S n

( )=⎧⎪⎨S nII (( )−+NWN2n)SIIW(nN)n N,               S                                         n       N 2 , 0N≤ ≤2n ≤ −NN 21.−1;                                              (2)

             ⎪S n                      

Это основное расчётное соотношение для БПФ. Спектр S n( )  содержит  N  спектральных отсчетов на интервале одного периода по оси n .

Подсчитаем число операций, необходимых для получения N спектральных коэффициентов при использовании этого метода. Для вычисления функций S nI ( ) и SII (n) требуется (N 2)2 умножений

Похожие материалы

Информация о работе