Дискретное преобразование Фурье. Дискретизированный сигнал и его спектр. Дискретный спектр и соответствующий ему сигнал

использовании ДПФ чаще всего возникают три проблемы: появление ложных спектральных составляющих, замывание спектральных составляющих, паразитная амплитудная модуляция спектра (искажение). Рассмотрим эти явления подробнее.

1.Появление ложных спектральных составляющих (рис. 4) – это явление, при котором высокочастотные компоненты функции времени могут быть приняты за низкочастотные. Причина – недостаточная частота дискретизации (неправильный выбор ω_в ).

Рис. 4. Появление ложных спектральных составляющих

2.Размывание спектральных составляющих. Это явление возникает из-за того, что анализируется ограниченный массив данных. Отбрасывается все, что происходит до и после периода наблюдений, что эквивалентно умножению сигнала на прямоугольную выделяющую функцию с соответствующим изменением спектра (рис. 5).

Рис. 5. Размывание спектральных составляющих: а – непрерывный сигнал и его спектр; б – прямоугольная выделяющая функция и ее спектр; в – результирующий сигнал и его спектр

Стандартный способ уменьшения этого явления – умножение сигнала на такую выделяющую функцию, которая имеет меньшие боковые лепестки. Однако снижение уровня боковых лепестков дается ценой расширения главного лепестка спектра окна, что приводит к ухудшению разрешения. Следовательно, необходим какой-то компромисс между шириной главного лепестка и уровнем подавления боковых лепестков. Существует  много выделяющих функций, обладающих различными свойствами.

3.Паразитная амплитудная модуляция спектра.  Каждому коэффициенту Фурье соответствует фильтр с частотной характеристикой

K( )ω вида sin x x (рис. 6, а). Это справедливо для случая прямоугольной выделяющей функции.

Главные лепестки представляют собой  N  независимых фильтров. Входной сигнал exp(j tω ) с частотой, кратной 1Δt , пройдет через соответствующий фильтр без изменений. Другие фильтры его подавят.

Эффект паразитной модуляции проявляется, когда вычисляются спектральные составляющие на частотах, не совпадающих с частотами, кратными 1Δt . В наихудшем случае, когда рассчитывается сигнал между фильтрами, его уровень равен 0,647. Избежать этого эффекта можно двумя путями:

-  рассчитывать спектры на частотах, кратных частоте 1Δt ; 

-  если необходимо вести расчеты и на других частотах, то массив из N₁ исходных данных дополняют N₂ нулями, т.е. увеличивают период повторения исходного сигнала. При этом  число фильтров ДПФ увеличивается, а расстояние Δ f между центральными частотами уменьшается (рис. 6 б)

Δ f =1 T =1 N₁Δt,  Δ f ′ =1 T =¹ (N₁ + N₂)Δt .

Полоса пропускания фильтра не изменяется, т.к. она определяется величиной 1Δt .

При N₁= N₂ передаточные функции K(^ω) имеют вид:

                 Δω2 2Δω2 3Δω2 4Δω2 5Δω2 6Δω2                                                ^{1            2}

                                     б                                                                    .

Рис. 6. Частотная характеристика ДПФ: а - N₁ отсчетов; б - N₁ отсчетов и N₂  нулей

1.4. Быстрое преобразование Фурье 

Алгоритм ДПФ имеет существенный недостаток: большое число вычислительных операций. Для вычисления всех  N спектральных коэффициентов требуется  N²  умножений  и столько же сложений.

Поэтому на практике часто применяют быстрое преобразование Фурье (БПФ). Суть этого алгоритма заключается в многократном членении заданной последовательности временных отсчетов на более короткие последовательности. Поясним достигаемый при этом выигрыш на примере одного первого разбиения.

Пусть задана последовательность отсчетов х(k), k = 0,1,..., N −1, причем N = 2^r , где r - целое число. Разобьем эту последовательность на две последовательности, содержащие соответственно четные отсчеты х_I (k)= x(2k) и  нечетные отсчеты х_II ( )k = x(2k +1). Введем обозначение ^W_N =exp(− πj2 N). С учетом равенств ^WN2 =^W_N2 ; ^W_N2_kn = ^W_N2kn  для четной последовательности отсчетов ДПФ имеет вид: 

N 2 1−                                                                                                      N 2 1− n =01, ,..., N2 1− . 

k=0                                           k=0

Для нечетной последовательности отсчетов ДПФ имеет вид:

N2 1−                                                            N2 1−

∑ x(2k +1)W_N^{(2 1k+ )n} =WNn ∑ x_II ( )k W_N ^2kn =WNn S_II ( )n ,

k=0           k=0 n =01, ,..., N2 1− .

Фазовый множитель WN_n =exp(− j n2 πN)  перед второй суммой учитывает задержку последовательности {x_II (п)} на один интервал относительно последовательности {x n_I ( )}. 

Спектры ^{S n}_I ( ) и ^S_II (n) также периодические, но с периодом N2 .

 Найдем результирующий спектр. Для частот τ = 0,1,..., N 2 −1 учтем периодичность спектров S n_I ( )= S n N_I ( −2);

^S_II ( )n = ^S_II (n − N 2). Кроме того, надо учитывать перемену знака перед фазовым множителем при  n ≥ N2:

W_Nn =W_NN 2+ −n N 2 =W_N N 2W_Nn N− 2 = −W_Nn N− 2,

т.к. W_N ^N2 = exp[(− j2π N N)( 2)]= exp(− jπ = −) 1.

В результате получаем выражение для вычисления всей последовательности отсчетов спектра:

S n

( )=⎧⎪⎨S n_II (( )−+NW_N2ⁿ)S−_IIW(n_N)_{n N},               S                                         n       N 2 , 0N≤ ≤2n ≤ −NN 21.−1;                                              (2)

             ⎪_⎩S n                      

Это основное расчётное соотношение для БПФ. Спектр ^{S n}( )  содержит  N  спектральных отсчетов на интервале одного периода по оси n .

Подсчитаем число операций, необходимых для получения N спектральных коэффициентов при использовании этого метода. Для вычисления функций ^{S n}_I ( ) и ^S_II (n) требуется (N 2)² умножений