Загальні принципи електромеханічного перетворення енергії.Загальні особливості, які дають змогу при певних припущеннях створити їх загальну теорію, страница 2

Узагальнене рівняння електричної рівноваги записується в формі рівняння Кірхгофа

u=Ri+ψ^· ,     (3) де R=diag(R_1s, R_2s, …, R_ns; R_1r, R_2r, …, R_mr).

Після підстановки (2) в (3), знаходимо диференційне векторне рівняння, що встановлює зв’язок між вектором струмів та вектором напруг живлення

                                                                                         ,                       (4)

В рівнянні (4) зворотна матриця індуктивностей завжди існує в силу умови L(θ)=L^–1(θ)>0. Оскільки розглядаються електричні машини з лінійною магнітною характеристикою, то функції ко-енергії і електромагнітної енергії співпадають і дорівнюють

W_e=  i^TL(θ)i.         (5) При виконанні умови А.4 момент, що розвивається електричною машиною, знаходиться у вигляді

                                              M = ^∂∂θ^We = ¹2 i^{T ∂L}∂θ^(θ)i,                      (6)

Загальний вигляд моменту (6) може бути визначений на основі закону консервації енергії. Очевидно, що рівняння руху механічної частини не залежать від її типу, і є однаковими для всіх обертових машин. Доповнюючи рівняння (4), що описує динамічні процеси в електричній частині машини і рівняння моменту (6) рівняннями руху механічної частини з постійним моментом інерції, отримаємо узагальнену модель електричної частини θ^·=ω

                                                                                                           i                                         (7)

, де ν>0 – коефіцієнт в’язкого тертя.

Відмітимо, що математичний опис машин поступальної дії співпадає з (7) при заміні кутових переміщень та швидкостей на лінійні, моменту на силу, а моменту інерції на масу.

Розмірність моделі (4) дорівнює n+m+2. Електрична машина має n+m керуючих дій, заданих вектором u. Вихідними координатами є M, ω, θ, дією збурення – зовнішній момент M_c(t).

Рівняння струмів в (7) є аналогом відомого рівняння для провідника зі струмом. що рухається в зовнішньому магнітному полі, згідно якому перший член характеризує спад напруги на активних опорах обмоток машини, другий – це ЕРС обертання Е, яку наведено в обмотках у результаті обертання ротора машини, і є результатом взаємодії механічної й електричної частин електропривода. Складова L(θ)i^· є сумарною ЕРС самоіндукції і взаємної індукції і викликана змінами струмів в обмотках.

На Рис. 3. представлена структурна схема довільної електричної машини, що відповідає рівнянням (7)

M  t_c( )

          u                 L$1( )" !i pI     i    12 iT -/1,L,"( )" .20i M $ Jp1 # 1p "

                          E                  R

, "L( ) "

,"

#

                                          Електрична частина                                          Механічна частина

Рис. 3. Узагальнена структурна схема електричної машини.

Рівняння (7), що визначають загальну модель електричної машини, та структурна схема, що показана на Рис. 3., відображають особливості довільної електричної машини. Основними з них є:

1.  Тип електричної машини та її статичні механічні і електромеханічні характеристики задаються матрицями індуктивностей L(θ) і активних опорів R.

2.  В процесі електромеханічного перетворення енергії електрична та механічна частини машини взаємодіють утворюючи єдину електромеханічну систему. Зв’язок між двома підсистемами здійснюється у прямому напрямку через генерований момент М, а в напрямі від’ємного зворотного зв’язку через вектор ЕРС обертання – Е. Цю властивість електричних машин інколи називають електромеханічним зв’язком [1]. Наявність електромеханічного зв’язку є основною властивістю електромеханічного перетворювача. Виникнення основного електромеханічного зв'язку зумовлено фізичною суттю перетворювання електричної енергії на механічну, а точніше залежністю власних і взаємних індуктивностей від кута повороту ротора машини, тобто нерівністю нулю похідної ^∂L∂θ^(θ) в рівняннях моменту (6) і ЕРС обертання в (7).

3.  Вільний рух (u=0, M_c=0) електричних машин, що задовольняють припущенням А.1 – А.4, завжди має асимптотично стійке положення рівноваги, задане умовами i=0, ω=0. Для того, щоб показати це, розглянемо повну енергію системи

(7)

W = (i^TL(θ)i+Jω²),        (8) похідна якої за часом в силу рівнянь (7) дорівнює 

                                              W^· = u^Ti^T – M_cω – νω² – i^TRi,                     (9)

За умов, що u=0, M_c=0, рівняння (9) задовольняє оцінці

 W^· ≤ –λW, (10) де λ>0 – деяка константа, що залежить від параметрів машини в (8) та (9). Умова (10) означає, що при вільному русі струми і кутова швидкість машини сходять в нуль з експоненційним обмеженням. Цю властивість електричних машин також називають властивістю пасивності, тобто електромеханічний перетворювач сам по собі енергію генерувати не може, а може лише розсіювати її частину в процесі електромеханічного перетворення. Так в стійкому сталому режимі W^· =0 в (9) і права частина цього рівняння представляє собою рівняння балансу потужностей, в якому перший член це активна електрична потужність, що підводиться до машини, другий – механічна потужність, що віддається. Два останні члени визначають втрати потужності в механічній частині, а також розсіювання на активних опорах статора і ротора. Важливо також відмітити, що завдяки цим компонентам в (9) забезпечується натуральна стійкість процесів в електричних машинах.