Тензоры объемных напряжений и скоростей изменения напряжений тела

следующее суждение. В процессе ступенчатого нагружения от источника механического напряжения видно, что вначале (первые несколько ступеней) смесь ведет себя как упругое тело Гука, а с повышением напряжения сдвига достигается некоторый предел, после которого наблюдается вязкое течение со скоростью, пропорциональной приложенному напряжению сдвига. На основании выше изложенного, реологическую модель формовочной смеси на сдвиг можно представить в виде трех элементов, соединенных по схеме

(1.2)

представляющую собой известное тело Бенгама, где Н  - упругий элемент Гука, характеризующий упругие свойства внутрипорового воздуха и связывающего при сдвиге;      - вязкий элемент Ньютона при сдвиге;      - пластический элемент Сен-Венана, представляющий собой кулоново трение зерновой основной формовочной смеси.

Для тел, участвующих в создании шаровой части реологической модели можно записать следующие выражения. Для упругих тел Гука Но, Но, Но:

(1.3)

(1.4)

(1.5)

где                    - соответственно тензоры объемных напряжений тел Но, Но, Но;                       - тензоры объемных деформаций указанных тел;                                

- модули объемного сжатия.

Для тела Ньютона       имеем

(1.6)

где         - коэффициент объемной вязкости тела     ;         - тензор скоростей объемных деформаций тела        .

Для тела Прагера

(1.7)

где         - предел объемной деформации тела                  - тензоры объемных напряжений и скоростей изменения напряжений тела     .

Для стопора      , если принять механические напряжения, направленные на уменьшение объема за положительные

(1.8)

где            - тензор объемных деформаций стопора      .

Задача рассмотрения реологического поведения формовочной смеси при объемном сжатии в пределах сводится к анализу реологической модели, состоящей из последовательно соединенных тел Но и ячейки, состоящей из тел      и  Но , соединенных между собой параллельно. Такое сложное реологическое тело представляет собой ничто иное как тело Кельвина (к-тело) в механике грунтов такое реологическое тело носит наименование модели Мерганта.

Реологическое поведение к-тела описывается следующей системой уравнений

(1.9)

Учитывая, что при параллельном соединении элементов имеем

(1.10)

(1.11)

Продифференцируем по времени соотношение (1.11) с учетом (1.9), получим

(1.12)

Из зависимости (1.10) находим и подставляем полученное выражение с учетом (1.9) и (1.11) в (1.12) получим

Разделим переменные

Поскольку                             окончательно имеем

(1.13)

Таким образом мы получим дифференциальное уравнение вида

(1.14)

Уравнение (1.13) можно представить в виде выражения (1.14)

(1.14а)

где А, В, С, Д - коэффициенты, составленные из комбинации реологических коэффициентов упругости и вязкости                      . Решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1.13) легко решается методом, известными из курса высшей математики. Решение (1.13) находим как сумму двух составляющих

(1.15)

где        - свободная составляющая и       - вынужденная составдяющая. Функция          удовлетворяет однородному уравнению

(1.16)

Следовательно

(1.17)

где А - постоянная интегрирования,а

- корень характеристического уравнения подставляя значение (1.17) в (1.15), получим

(1.18)

Вынужденная составляющая объемной деформации определяется видом внешнего воздействия. Для реализации этого воздеймтвия воспользуемся источником механического напряжения, создающим единичное ступеньчатое нагружение. С течением времени в исследуемой линейной системе должен установиться вынужденный режим, следовательно,

(1.19) 

подставляя (1.19) в (1.18) получим

(1.20)

Чтобы найти неизвестную постоянную интегрирования введем начальные условия. Обозначим объемную деформацию в момент, непосредственно предшествующий нагружению источником механического напряжения символом     , а величину ее сразу же после нагружения символом        и, учитывая, что                будем иметь

(1.21)

Используя (1.20) совместно с (1.21) получим

Подставив значение А и выражение (1.19) в (1.18), находим окончательно

(1.22)

Аналогичным образом может быть решено уравнение (1.13) при воздействии на смесь источника деформации. Перепишем уравнение (1.13) следующим образом

(1.23)

Помножив обе части этого равенства на        ,получим

(1.23а)

Поскольку в реологической модели формовочной смеси параллельно пружине Но подключен стопор Го, то при воздействии на него единичной функции от источника деформации она ведет себя совершенно иным образом, чем тело Кельвина. При мгновенном деформировании в момент               деформацию получает только Но, а пружино Но деформироваться не может вследствие шунтирующего действия вязкого тела       , которое при мгновенном нагружении ведет себя как абсолютно твердое тело. Затем после прекращения деформирования сжатия пружина Но распрямиться не может, так как забликирована стопором, механическое напряжение на               не передается и релаксация его не происходит.

Таким образом, при мгновенной деформации энергия деформирования тела                                                     полностью расходуется на разрушение первоначальной структуры, а механическое напряжение, сопровождающее его деформирование, равно

(1.24)

Решение (1.23а) находим как сумму двух составляющих

(1.25)

где           - свободная составляющая и        - вынужденная составляющая функции               удовлетворяют однородному уравнению

(1.26)

Следовательно

(1.27)

где А - постоянная интегрирования, а

- корень характеристического уравнения

Подставляя значение (1.27) в (1.25), получим

(1.28)

С течением времени в системе должен установиться вынужденный режим, следовательно

(1.29)

Подставляя (1.29) в (1.28), получим

(1.30)

Из начальных условий найдем постоянную интегрирования. При

(1.31)

Решая (1.30) совместно с (1.31) получим

(1.32)

Подставляя выражение (1.32) и (1.29) в выражение (1.28) получим

(1.33)

Полученное уравнение является математической моделью реологических параметров формовочной смеси при ее испытании на объемное сжатие.

Аналогичным образом можно получить математическую модель реологических параметров формовочной смеси при ее испытании на сдвиг (после воздействия единичной ступенчатой деформации)

(1.34)

Структура исследования

Этап 1. Разработка математических моделей поведения формовочной смеси, связывающих реологические параметры формовочных смесей с ее технологическими характеристиками; реологические параметры формовочной смеси с параметрами ступенчатого нагружения.

Этап 2. Разработка нового метода контроля за процессом смесеприготовления, основанного на реологических моделях и непрерывном автоматизированном контроле в условиях одновременного нагружения сжатия и сдвига.

Этап 3. Разработка конструкции установки и методики исследований для непрерывного автоматизированного контроля реологических свойств песчано-глинистых формовочных смесей с использованием высокоактивного комплексного органо-минерального связующего.

Этап 4. Установление математических зависимостей реологических параметров формовочных смесей от состава используемого при смесеприготовлении высокоактивного комплексного органо-минерального связующего.