Координаты точки. Построение траектории точки. Мгновенный центр скоростей. Модуль реакции. Колебательное движение материальной точки

ГОУ ВПО НТИ УГТУ УПИ

кафедра математики

Расчетно-графическая работа

по теоретической механике

 С3, Д2, Д3

Вариант: 12

Группа: 2414 – ЭАПУ

Студент:

Преподаватель:

г.Н.Тагил
Задача К1

Дано:

Закон движения точки  

t₁=1

Найти:

x=f(y); u_t=1=?; a_t=1=?; p_t=1=?

Решение:

1)  Находим траекторию:

sin²a+cos²a=1 =>   

x – y – 3 = 5

x = 8 + y, т.е. траекторией точки является прямая

2) Находим координаты точки и строим ее:

3) Находим скорость точки через ее проекции на оси координат:

4) Находим ускорение точки через ее проекции на оси координат:

Координаты, см		Скорость, см/с			Ускорение, см/с2					Радиус кривизны
х	y	ux	uy	u	ax	ay	a	at	an	r
1.25	-6.75	2.266	2.266	3.205	1.369	1.369	1.936	1.936	0	-

Задача К2

Дано:

R₂=20; r₂=15; R₃=10; x₀=5; u₀=10; x₂=179; t₁=2; t₂=3

Найти:

a_м=?; u_м=?; w₃=?; e₃=?

Решение:

Уравнение движения груза 1 имеет вид: х = c₂t²+c₁t+c₀.

При t = 0 х₀=5см, =10см/с, при t₂=3c х₂=179см

Скорость груза 1: .

Подставляя в формулы данные получим коэффициенты: с₀=5; с₁=10; с₂=16.

Таким образом, уравнение движения груза 1 имеет вид: x = 16t² + 10t + 5.

Скорость груза 1: .

Ускорение груза 1:

В соответствии со схемой механизма составим уравнения:

 откуда

Угловое ускорение колеса 3:

Скорость точки М, ее вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:

u_м=R₃w₃=10×5.55=55.5;

;

;

Задача К3

Дано:

АВ=30; АС=20; u_А=20; а_А=20.

Найти:

u_В=?; u_С=?; а_В=?; а_С=?; w=?; e=?.

Решение:

Находим мгновенный центр скоростей: u_В=0 следовательно точка В – мгновенный центр скоростей звена АВ. От сюда следует:

;

u_с= w_АВ×ВС=w_АВ(АВ – АС)=6,67см/с.

Определение ускорения точки и углового ускорения звена:

;

; ; ; . От сюда следует:

Определяем ускорение точки С:

;

;

Задача С3

Дано:

Р₁=12.0кН; Р₂=4.0кН; М=16.0кН×м; q=3.0кН/м.

Найти:

R_В=?

Решение:

Рис.1

Рассмотрим правую часть конструкции (рис.2):

åхi =0 ; x_c – P₂ = 0;

åyi =0;  R_D – y_c = 0;

åM_Di =0; -x_c×3+P₂×2 – M + y_c ×3= 0;

x_c = P₂ = 4.0кМ; R_D = y_c; ; R_D=6.67 кН.

Рассмотрим левую часть конструкции (рис.3):

åxi =0;  q×4– P₁cosa –  x¢_c – x_B = 0;

åyi =0; R_A – P₁sina + y¢_c – y_B = 0;

åM_B=0; – R_A×4 – q×4×2 + P₁cosa×4 + P₁sina×2 + x¢_c×3 =0

x_B = q×4 – P₁cosa - x¢_c = 2кН;

y_B= R_A – P₁sina+ y¢_c=4.4кН;

 

Рассмотрим кривую часть конструкции (рис.4):

åхi =0 ; x_c – P₂ = 0;

åyi =0;  R_D = 0;

åM_Di =0; М_с – М + Р₂×2 – х_с×3 = 0;

х_с= Р₂ = 4кН; М_с= М + х_с×3 – Р₂×2=20кН.

Для левой части конструкции (рис.5):

åxi =0; q×4 – P₁cosa – x¢_c – x_B=0;

åyi =0; R_A – P₁sina + y_B=0;

åM_Bi=0; – 4×q×2 + P₁cosa×4 + P₁sina×2 + x¢_c×3 – R_A×4 – M¢_c=0;

x_B=q×4 – P₁cosa – x¢_c;

y_B=P₁sin×a – R_A=7.2кН;

Модуль реакции R_B увеличился в 1.56 раза.

Задача Д2

Дано:

m; ; z₀=R; ; 0<R=const.

Найти:

Уравнение движения тела М массой m.

Решение:

; ;

                                                                                                       (1)

Пусть ; ;

Подставляем в уровнение (1) получим:

Разделим переменные: ydy= – gR²z^-2dz                                                         (2)

Проинтегрировав уравнение (2) получим: ; или

; , где С₁ – постоянная интегрирования

                                                                                            (3)

Найдем С₁ из условий: z₀=R; , тогда:

 из этого уравнения следует, что С₁=0;

тогда уравнение (3) будет выглядеть так:  или

Проинтегрируем обе части уравнения: .

При t=0; z₀=R, тогда: ; ;

или  отсюда:

Задача Д3

Дано:

m=3кг; l=2см; с=9Н/см=900Н/м; x=1,2sin8t.

Исследовать колебательное движение материальной точки.

Решение:

; ; Р=с(х-x); = –сх + сx ; , подставим числовые значения:                                                  (1)

; k²+300=0; ;

х₂= В₁sin8t+B₂cos8t; .

Подставляем полученные значения в уравнение (1):

-64B₁sin8t – 64B₂cos8t + 300B₁sin8t+300B₂cos8t=3,6sin8t. Отсюда: 236В₁=3,6; 236В₂=0;  В₁=0,015; В₂=0.

И тогда х₂=0,015sin8t;

.

Постоянные С₁ и С₂ найдем из начальных условий: при t=0; x₀= – l; ;

; C₁= – 0,02; C₂= –0,07.  Отсюда: