Арифметическое n-мерное векторное пространство. Арифметические векторы и их обозначение. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, страница 2

Любая система из S векторов  в арифметическом пространстве Rⁿ линейно зависима, если S>n.

8.3 Базис арифметического пространства Rⁿ.

Ранее в 8.1 мы определяли понятие ортогональности для двух векторов из арифметического пространства Rⁿ. В трёхмерном пространстве R³  для любых векторов  и  существует ненулевой вектор в виде теоремы на случай арифметического пространства Rⁿ.

Теорема 1:

Пусть в арифметическом пространстве Rⁿ задан набор из S векторов  причём S<n , тогда существует ненулевой вектор  ортогональный каждому из векторов .

Дадим теперь одно из основных понятий арифметического пространства понятие базиса.

Определение 1:     Система векторов из арифметического пространства Rⁿ, называется базисом пространства Rⁿ, если:

1.   Эти векторы линейно независимы.

2.   Любой вектор из пространства Rⁿ является линейной комбинацией векторов данной системы.

Приведём пример базиса в пространстве Rⁿ системы из n векторов:

Очевидно в силу того, что векторы  образуют лестничную систему векторов они линейно независимы и если вектор произвольный вектор пространства Rⁿ, то очевидным является равенство:

то есть вектор  является линейной комбинацией векторов .

Следующая теорема формулирует еще одно очень важное свойство базиса.

Теорема 2:

Линейно независимая система векторов в пространстве Rⁿ является базисом тогда и только тогда, когда число этих векторов равно n.

Теперь рассмотрим примеры, посвящённые теме главы 8.

Пример 1:

Вычислить скалярное произведение векторов  и , если заданы проекции векторов  и  в арифметическом пространстве R^s.

Решение:

Для нахождения скалярного произведения векторов  и  найдём их проекции в арифметическом пространстве R^s.

тогда скалярное произведение равно.

Пример 2:

При каком значении t будут перпендикулярны векторы  и , где векторы  и  заданы в арифметическом пространстве R^s своими проекциями:  и

Решение:

Найдём проекции вектора .

так как по условию задачи векторы  и  ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю.

получим соотношение

Пример 3:

Дана система из четырёх векторов в параметрическом пространстве R⁵

Установить является ли эта система векторов линейно зависимой. Из определения линейной зависимости вытекает векторное равенство для системы из четырёх векторов.

Перепишем это уравнение в координатной форме:

Получаем однородную систему уравнений если эта система имеет только нулевое решение, то  ось заданных векторов линейно независима. Если же имеются ненулевые решения системы, то заданная система векторов  линейно зависимая. Решим систему методом Жордана Гаусса. Для этого запишем размерную матрицу системы, дополнив ее столбцом контрольных сумм и столбцом базисных неизвестных.

КΣ

В результате преобразований получили систему с тремя базисными неизвестными х₁, х₂, х₄ и один  свободный х₃. наличие свободного неизвестного, говорит о том что система имеет бесконечное множество решений, а это значит что система векторов линейно зависима. Опишем линейное преобразование расширенной матрицы, проделанные при преобразовании матрицы.

1.  Первую строку матрицы умножим на (-1).

2.  В качестве разрешающего элемента  выбрали элемент первой строки стоящий в первом столбце. Для получения нулей в первом столбце матрицы выполним следующие действия:

a.  Первую строку умножим на (-3) с сложим со второй строкой, результат запишем на место второй строки.

b.  Первую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой результат записали на место третьей строки.

c.  Первую строку умножили на (-2) и сложили с четвёртой, результат записали в четвёртую строку.

d.  Первую строку умножили на (-5) и результат записали в пятую строку.

3.  Вторую строку поделили на (-4); третью строку поделили на   (-7); четвёртую строку поделили на (-3).

4.  В качестве разрешающего элемента выбираем элемент второй строки стоящей во втором столбце. Для получения нулей во втором столбце матрицы выполним следующие действия:

a.  Вторую строку умножим на (-3) и сложим с первой строкой результат записываем на место первой строки.

b.  Вторую строку умножили на (-1) и сложили с третьей строкой, результат записали на место третьей строки.

c.  Вторую строку умножили на (-1) и сложили с четвёртой строкой результат записали на место четвёртой строки.

d.  Вторую строку умножили на (-11) и сложили с пятой строкой, записали на место пятой строки.

5.  В матрице появились две нулевые строки третья и четвёртая, их вычёркиваем.

6.  Третью строку делим на 2.

7.  В качестве разрешающего элемента выбрали элемент третьей строки, стоящий в четвёртом столбце. Для получения нулей в четвертом столбце выполним действия:

a.  Третью строку умножим на (-2) и сложим со второй строкой, результат записали на место второй строки.

b.  Третью строку сложили с первой строкой результат записали на место первой строки.