Евклидова геометрия, неевклидовы метрики, угловое расстояние, задача оптимального размещения объектов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УО «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра прикладной математики и экономической кибернетики

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

На тему: Неевклидова геометрия и ее приложения

Студент

ФМ, 1-ый курс, ДКК                                                      А.

Руководитель

Доцент                                                                                 Г.

Минск, 2014

РЕФЕРАТ

Курсовая работа: 30 с., 4 рис., 2 табл., 17 источников

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, НЕЕВКЛИДОВЫ МЕТРИКИ, УГЛОВОЕ РАССТОЯНИЕ, ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ ОБЪЕКТОВ. 

Объект исследования  — приложения неевклидовой геометрии.

Предмет исследования  — неевклидова метрика, основанная на угловом расстоянии.

Цель работы: продемонстрировать эффективность использования неевклидовой метрики при решении задач по размещению экономических объектов

Методы исследования: описания, классификации, аналитические, математические. 

Исследования и разработки: Изучено развитие евклидовой геометрии, открытие неевклидовых метрик и исследовано их дальнейшее использование в практической деятельности.

Практическая значимость: Исследование помогает сделать вывод о рациональности использования неевклидовой геометрии для решений прикладных экономических задач, в частности, задачи размещения.

Автор работы подтверждает, что приведенный в ней расчётно-аналитический материал правильно н объективно отражает состояние исследуемого процесса, а все заимствованные из литературных и других источников теоретические, методологические и методические положения и концепции  сопровождаются ссылками на их авторов.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 4

1 Основные аспекты евклидовой геометрии.. 5

1.1 Аксиомы Евклида и отсутствие доказательности соблюдения пятой аксиомы. 5

1.2 Понятие метрики. Краткое содержание евклидовой метрики. 10

1.3 Классификация и обзор содержания ряда неевклидовых метрик 12

2 Неевклидова метрика, основанная на угловом расстоянии.. 18

2.1 Содержание и аналитическое представление метрики, основанной на угловом расстоянии. Графическая интерпретация. 18

2.2 Алгоритм реализации метрики по угловому расстоянию.. 21

3 Использование неевклидовой метрики по угловому расстоянию для оптимального размещения экономических объектов.. 27

3.1 Пример решения задачи. 27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 29

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 30

ВВЕДЕНИЕ

Практическое применение евклидовой геометрии в экономике зачастую ограничивается объективными причинами, поэтому целесообразно использовать неевклидовы метрики, к примеру, для решения задач размещения. Задачи размещения - частный случай задач оптимизации, где главными параметрами являются координаты точек и расстояния между ними, была и остается одной из важнейших экономических задач.  В общем случае, цель задачи размещения включает в себя определение местоположения одного или нескольких новых объектов на плоскости или в пространстве, где уже имеются некоторые объекты, причем число возможных расположений для нового объекта обычно бесконечно. Такие модели обычно включают евклидовы расстояния или другие соответствующие расстояния и непрерывны по своей природе. Поскольку модели непрерывны, они удобны с точки зрения математического анализа и в некоторых случаях могут быть вычислены точные решения. В качестве примеров можно привести задачи оптимального размещения складов, размещения оборудования компьютерных и телекоммуникационных сетей, базовых станций беспроводных сетей и др. Подобные задачи формулируются и в теории аппроксимации, задачах оценивания в статистике, обработке сигналов и изображений и др, а посему исследуема проблема является актуальной. 

Объектом исследования является неевклидова метрика, основанная на угловом расстоянии.

Предмет исследования составляют приложения неевклидовой геометрии.Так как целью работы является продемонстрировать эффективность использования неевклидовой метрики при решении задач по размещению экономических объектов, целесообразно достичь ее посредством выполнения ряда задач. Во-первых необходимо рассмотреть фундаментальные положения евклидовой геометрии, определить ее метрику и классифицировать метрики неевклидовые. Во-вторых необходимо раскрыть понятия метрики, основанной на угловом расстоянии, и определить алгоритм ее реализации. В-третьих, продемонстрировать, насколько данный алгоритм может быть применен на практике. Для достижения поставленных задач используются различные методы исследования: описания, классификации, аналитические и математические методы. 

Наконец, структура работы представлена:

§  Главой 1. Основные аспекты евклидовой геометрии

§  Главой 2. Неевклидова метрика, основанная на угловом расстоянии

§  Главой 3. Использование неевклидовой метрики по угловому расстоянию для оптимального размещения экономических объектов

1 Основные аспекты евклидовой геометрии

          1.1 Аксиомы Евклида и отсутствие доказательности соблюдения пятой