Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

(о равенстве нулю производной). Пусть функция  y = f (x):   

1) дифференцируема на интервале (a;b), 2) достигает экстремума в точке x₀ ∈(a;b).

Тогда производная функции в этой точке f ′(x₀) = 0.

◄Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и в точке x₀ принимает наибольшее значение при  x₀ ∈(a;b). По f(x)− f(x⁰ )

определению производной f (′x₀ ) = lim         ,  причем предел

                                                                                                                  x→x0             x − x0

не зависит от того, будет ли x → x₀ справа или слева. Но при x > x₀      f (x) − f (x₀)

 ≤ 0, откуда следует, что f ′(x₀ )≤ 0. При x < x₀ имеем          x − x₀ f (x) − f (x₀)

 ≥ 0,   следовательно, f ′(x₀ )≥ 0. x − x₀

По условию функция y=f(x)  дифференцируема в точке x₀, следовательно, ее предел при x → x₀ не должен зависеть от выбора направления приближения аргумента х  к точке x₀, т.е. f(x)− f(x₀ ) f(x)− f(x₀ )

                 = lim = f ′(x₀ )

xx − ^x0                                       x→x₀−0          x − ^x0

⎧ f (′x⁰ )≤ 0

               Получаем систему _⎨               , из 

⎩ f (′x₀ )≥ 0

которой следует f ′(x₀ ) = 0. Аналогично рассматривается  другой случай.► Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наибольшего или наименьшего значения касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

(о производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения).    Пусть функция y = f (x)

1)  непрерывна на отрезке [a;b];

2)  дифференцируема на интервале (a;b);

3)  на концах отрезка [a;b] принимает равные значения:

f(a) = f(b).

Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка x₀, в которой f ′(x₀ ) = 0.

◄Функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. В силу второй теоремы Вейерштрасса она на этом отрезке принимает наименьшее и наибольшее значения. Пусть это будут значения m и M.  Могут представиться два случая:

1)  M = m. В этом случае m ≤ f (x) ≤ m, функция у=f(x)  является постоянной на отрезке [a;b]. Поэтому f'(x) = 0  во всем интервале (a;b), теорема верна.

2)  M > m. Тогда для функции у=f(x)  даже в том крайнем случае, когда, например, наибольшее значение функции принимается на конце отрезка f(a) = f(b) = M, наименьшее значение будет приниматься уже внутри отрезка. Следовательно, найдется точка x₀ ∈(a;b), в которой f(x₀) = m.  Но тогда по теореме Ферма f ′(x₀ ) = 0.►

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: найдется хотя бы одна точка, в которой    касательная    к    графику функции будет параллельна оси абсцисс.   

Если f(a) = f(b) = 0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

 (о конечных приращениях).

Пусть функция y = f (x)

1)  непрерывна на отрезке [a;b];

2)  дифференцируема на интервале (a;b).

Тогда на интервале (a;b) найдется

по крайней мере одна точка x₀ такая,            y                ^B

f (b) − f (a)

что                               = f ′(x₀).                               _{y = f( x)}

 (об отношении конечных приращений двух функций).

Если функции y = f (x) и y = g(x)

1)  непрерывны на отрезке [a;b];

2)  дифференцируемы на интервале (a;b);

3)  производная g′(x) ≠ 0 на интервале (a;b).

Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере f (b) − f (a) f ′(x⁰)

одна точка x₀ такая, что               = . g(b) − g(a) g′(x₀)

 ◄Из условия теоремы следует, что g′(x) ≠ 0. Это означает, что разность g(b) − g(a) ≠ 0. Действительно, если бы g(b) − g(a) = 0, то функция y=g(x), являясь непрерывной и дифференцируемой, удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и в таком случае g′(x) была бы равна нулю по крайней мере в одной точке x₀ интервала (a;b), что противоречит условию. Введем вспомогательную

f(b) - f(a)

функцию      K(x) = f(x) -f(a) - (g(x) − g(a)). g(b) − g(a)

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1)  K(x) непрерывна на отрезке [a;b], так как  непрерывны функции у=f(x) и y=g(x);

2)  функция K(x) имеет производную всюду в интервале (a;b), поскольку каждое слагаемое в правой части функции K(x)  имеет производную на этом интервале;

3)  K(a) = K(b) = 0, в чем убеждаемся непосредственной проверкой. 

Из теоремы Ролля  делаем вывод о существовании  точки x₀ ,

f (b) − f (a)

что                                                                      K′(x₀ ) = 0. Поэтому       K′(x₀ ) = f ′(x₀ ) − g′(x₀ ) = 0.          g(b) − g(a)

                                                                  f ′(x⁰ )     f (b) − f (a)

Отсюда следует                =                    .►

                                                                 g′(x₀ )      g(b) − g(a)

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши: достаточно в теореме Коши взять g(x) = x.

 ( нахождения предела отношения функций через предел отношения их производных). 

Пусть функции y = f(x) и y = g(x)

1)дифференцируемы в окрестности точки _a, кроме, быть может, самой точки _a;

2)g(x) ≠ 0 и g′(x) ≠ 0 в этой окрестности;

3)lim f (x) = 0,  lim g(x) = 0;

                                x→a                                     x→a

f ′(x)

4)существует lim     (конеч. или беск.)

x→a g′(x)

                                                                               f (x)                          f (x)     f ′(x)

Тогда существует lim , причем   lim = lim                   x→a g(x) x→a g(x) x→a g′(x)

◄В теореме ничего не сказано о значениях y = f(x) и y = g(x) в точке х=а. Положим f(a) = g(a) = 0. Так как теперь lim f (x) = f (a)

x→a

и lim g(x) = g(a), то функции y = f(x) и y = g(x)  будут непрерывны

x→a

в точке а. Поэтому на отрезке [a;x], где х - какая угодно точка окрестности точки а, функции y = f(x) и y = g(x) удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Следовательно, между а и х найдется по крайней мере одна точка ^х f (x) f (x) − f (a) f ′(x⁰ ) a        x₀        x

x₀ такая, что              =                    =           .

g(x) g(x) − g(a) g′(x₀ ) Рис. 3. Величина x₀ зависит от х, причем при x → a точка x₀ также