Разделение смеси нормальных распределений. Задача оценивания статистических параметров. Статистические свойства оценок

Следовательно, мы будем использовать центральные моментыμ_k

;

Рассмотрим второе уравнение:

;

;

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим квадратное уравнение относительно :

;

;

Отсюда

;

Подставляя данное решение в третье уравнение системы получим:

;

;

Раскрыв скобки и поделив на 2:

;

Подставляя значения kи l:

;

Поделим опять на 2:

;

Перенесем слагаемое с корнем в правую часть и возведем в квадратуравнение:

;

Или

;

Получим уравнение пятого порядка:

;

Подставив значение известных параметров получим:

-4.5539203786799675047e9*a₂+4.0985217266487130656e7*a₂²-180534.256093048632*a₂³+104885.95176*a₂⁴+39075.98356*a₂⁵-4.0990814284920310681e9=0

Графикфункции:

2. Реализация численного алгоритма нахождения оценок метода моментов

Подставляя выборочные моменты решим данное уравнение методом деления отрезка пополамс помощью математического пакета Mathcad 15. Используем этот метод, благодаря его безусловной сходимости. Он сходится, если на интервале [a, b] имеется хотя бы один корень. Кроме того, метод не использует производных.

Принцип метода деления отрезка пополам:

Пусть дано уравнение f(x)=0, функция f(x) непрерывна на интервале [a,b]. Условие f(a)* f(b)<0 указывает тогда на наличие хотя бы одного корня на этом отрезке.

1)Поделим отрезок [a,b] пополам точкой c, координата которой c=(a+b)/2 и вычислим значение функции f(c).

Возможны два случая:

а) f(a)* f(c)>0, т.е. значения функции на концах отрезка [a, c] одинаковы по знаку; тогда корень уравнения находится на отрезке [c, b] и отрезок [a, c] можно исключить из дальнейшего рассмотрения, перенеся точку a в точку c: a=c; f(a)=f(c);

б) f(a)* f(c)<0, т.е. значение функции на концах отрезка [a, c] противоположны по знаку; тогда корень находится на отрезке [a, c] и отрезок [c,b] можно исключить из дальнейшего рассмотрения, перенеся точку b в точку c: b=c.

2) После исключения правой или левой половины отрезка продолжают деление пополам до тех пор, пока длина оставшегося интервала [a, b] не станет меньше некоторой заданной малой величины ε, т.е. |b-a| <ε , и тогда любое значение аргумента из отрезка [a, b] можно считать корнем с погрешностью ε. Обычно принимают в качестве корня середину отрезка.

Корни нашего уравнения будем искатьна отрезке [0;50] с точностью ε=10^-5

В процессе вычислений, был получен следующий корень уравнения

;

Подставляя данное решение в уравнение для , получим:

;

Соответственно для , p = 4,29 что очевидно не является правильной оценкой, а для , p = 0,704

Теперь вернем систему координат в исходное состояние, т.е.прибавим первый выборочный момент:

;

;

3.Численный алгоритм разделения смеси нормальных распределений ММП

Функция правдоподобия имеет вид:

;

;

Согласно алгоритму Ньютона искомая оценка имеет вид:

;

Для нахождения оценок, нам потребуется градиент и матрица вторых производных:

;

;

;

Логарифмическая функция правдоподобия:

;

;

Очевидно, что

;

Вычислим производные для градиента и матрицы Гессе:

;

;

;

Теперь выведем формулы производных для функции максимального правдоподобия:

;

;

;

;

;

Обозначим ;

;

;

;

;

;

Определитель матрицы  равен:

;

Предполагая, что определитель матрицы не равен нулю. Найдем обратную матрицу:

;

Мы нашли все необходимые выражения для оценивания параметров с помощью метода Ньютона. Теперь можем вывести формулы оценок параметров q, a₁ и a₂:

;

;

;

Заключение

В результате выполнения работы методом моментов получены оценки трех параметров разделения смеси двух нормальных распределений. Полная задача о разделении смеси двух нормальных распределений, требующая оценку пяти параметров более сложная и в данной работе не рассматривалась. Также численно была рассчитана оценка параметров  для построенной выборки. Использовался метод деления отрезка пополам, т.к. он хорошо сходится и не требует вычисления производных. Также получен численный алгоритм разделения смеси нормальных распределений метода максимального правдоподобия.

Список Литературы

1.  Севастьянов Б.А.: Курс теории вероятностей и математической статистики – М.: «Наука» 1982 г.

2.  Кремер Н. Ш.: Теория вероятности и математическая статистика: Учебник 2-е издание  переработанное и дополненное – М.: «Юнити» 2004 г.

3.  Чистяков В.П.: Курс теории вероятностей: учебное пособие для студентов