Решение задачи методом Ритца. Выбор базисных функций. Замена переменных

Лабораторная работа № 1

1 вариант.

Выполнил:

гр. С8403б

Задача: Методом Ритца решить краевую задачу

Решение. Выберем базисные функции: .

Тогда получим

.

В качестве  выберем функции

удовлетворяющую краевым условиям задачи. Ищем решение в виде суммы

В исходном уравнении обозначим за P(x) коэффициент при u', за Q(x) - коэффициент при u и за F(x) - правую часть. Тогда

Следуя методу Ритца, введем замену переменных:

Тогда краевую задачу (1) можно свести к задаче:

Краевая задача (3) равносильна минимизации функционала:

Общий вид функционала из-за его громоздкости записывать не будем.

Далее найдем частные производные по С₁ и С₂ этого функционала. Расчеты произведены в математическом пакете Mathcad Prime 2.0.

Приравнивая эти производные к нулю получаем:

Подставляя найденные значения в (2) получаем приближенное выражение для искомого решения:

Построив графики точного решения  (красный) и полученного нами приближенного u(x)=, видим что на отрезке [0;1] они немного расходятся.