Матричная форма линейной модели множественной регрессии. Оценка параметров классической регрессионной модели методом наименьших квадратов

Аналогично величина основных производственных фондов зависит от размера инвестиций не только текущего года, но и предыдущих лет. В этом случае строятся модели с лаговыми объясняющими переменными. Например,

, где  - потребление в период времени ;  - доход в период времени ;  - доход в предыдущий период .

В данной модели лаговой является переменная у_t-1, т.е. доход за предыдущий период времени. Возможна ситуация, когда объясняющая переменная  влияет на результат  не сразу же, а с определенным запаздыванием во времени, превышающим один временной интервал. Так, выпуск специалистов высшей квалификации зависит от приема в вузы четырех – пятилетней давности.

Объясняющие переменные, взятые в модели регрессии с запаздыванием во времени, называются лаговыми переменными. Величина интервала запаздывания называется лагом. Так в модели  лаговая переменная взята с лагом, равным 4.

Вместе с тем в правой части модели лаговой может быть и зависимая переменная.

Модели регрессии по временным рядам с лаговыми переменными принято называть динамическими моделями. Их можно подразделить на три класса:

1)  модели с лаговыми объясняющими переменными, или, иначе, модели с распределенными лагами:

;

2)  модели с лаговыми зависимыми переменными – модели авторегрессии:

;

3)  модели с лаговыми зависимыми  и независимыми переменными, т.е. авторегрессионные модели с распределенными лагами:

.

Выбор величины лага и количества лагов проводится обычно экспериментально: строятся модели с разным числом лагов и их величиной и изучается значимость коэффициентов регрессии при лаговых переменных; останавливаются на модели, для которой все коэффициенты регрессии при лаговых переменных будут статистически значимыми по -критерию Стьюдента.

1. Модели с распределенными лагами

Модели с распределенными лагами бывают двух типов:

-  с конечным числом лагов:

;

-  с бесконечным числом лагов:

.

Практическое применение чаще всего имеют модели с конечным числом лагов, т.е. модели, в которых число лагов экспериментально определено.

Предположим рассматривается модель, в которой , т.е. . Данная модель означает, что изменение во времени  объясняющей переменной  будет влиять на значения результативного признака  в течении 4 следующих моментов времени.

Коэффициент  называют краткосрочным мультипликатором, так как он характеризует среднее изменение результата  при изменении  на 1 единицу своего измерения в фиксированный момент времени .

В момент времени  воздействие объясняющей переменной  на результат  составит  единиц, а в момент времени  общее изменение  составит  единиц.

Любую сумму коэффициентов , где  называют промежуточным мультипликатором, а сумму всех коэффициентов регрессии  - долгосрочным мультипликатором, который характеризует общее изменение  через  интервалов времени под воздействием изменения  в момент  на 1 единицу.

При  долгосрочный мультипликатор составит . Он характеризует общее среднее изменение  через 4 временных интервала при увеличении  в момент времени  на 1 единицу, а промежуточные мультипликаторы:

 - изменение  в момент времени ;

 - изменение  в момент времени ;

 - изменение  в момент времени .

Если все коэффициенты регрессии имеют одинаковые знаки, т.е. характеризуются однонаправленным изменением  в исследуемые  моментов времени, то можно определять относительные коэффициенты модели , т.е. , где , а . Иными словами,  характеризует долю общего изменения  в момент времени .

Модель с конечным числом лагов при правильной ее спецификации может быть оценена обычным МНК. В этом случае в уравнении:

переменные  рассматриваются как объясняющие переменные обычной множественной регрессии.

Вместе с тем применение МНК к моделям с конечным числом лагов может быть реально затруднено ввиду следующих причин:

1)  при наличии тенденции переменные  тесно связаны между собой, что вызывает мультиколлинеарность факторов, которая может привести к неинтерпретируемым знакам у коэффициентов регрессии  и к снижению их точности;

2)  возможна автокорреляция остатков, так как МНК применяется к временным рядам с тенденцией.

Поэтому нередко для оценки параметров модели с распределенным конечным числом лагов используются специальные методы преобразования, как и для модели с бесконечным числом лагов. Разработаны разные методы оценивания параметров моделей с распределенными лагами, которые учитывают характер распределения коэффициентов регрессии при лаговых объясняющих переменных. Иными словами, методы оценивания параметров модели с распределенными