Методика преподавания в высшей школе. Решение задач кривых второго порядка

Цель консультации: научить студентов считать определители и закрепить  понимании пройденного материала.

Тип факультатива: факультатив закрепления знаний

План факультатива: 1. Организационный момент 2. Актуализация опорных знаний 3. Применение знаний

Ход урока

I. Организационный момент

Сегодня мы повторим тему «Определители» и научимся применять знания на практике.

II. Актуализация знаний

Повторение теоретического материала:

Определители 3-го порядка.

Определение. Определителем 3-го порядка называется выражение

Числа называют элементами определителя. Индекс i означает здесь номер строки определителя, в которой находится этот элемент, а индекс j – номер столбца. Так, например, элемент  находится в третьей строке и втором столбце определителя.

 Пример 1. Вычислить

Решение. Используя формулу, имеем

Таким образом, справедливы шесть разложений:

                                 ,

,

,  (1)

,

,

.

Замечание. Раскрывая определители 2-го порядка в формуле (1) и собирая члены с одинаковыми знаками, получим

                      

Этот способ вычисления определителей 3-го порядка называется правилом треугольника. Элементы, входящие в определитель со знаком + и со знаком –, выбираются из определителя, как показано на рисунках.

Пример 2. Вычислить по правилу треугольника.

Решение.

 

Свойства определителей справедливы для определителей любого порядка:

а) определитель не меняет своего значения, если строки и столбцы поменять местами;

б) при перестановке двух строк или двух столбцов определитель меняет знак;

в) определитель, у которого две строки или два столбца одинаковы, равен нулю;

г) общий множитель элементов какой–либо строки или столбца определителя можно выносить за знак определителя.

Например,

 ;

д) если все элементы какой-либо строки или столбца определителя равны нулю, то определитель равен нулю;

е) если элементы какой-либо строки или столбца определителя пропорциональны элементам другой строки или столбца, то такой определитель равен нулю, например, определитель , так как элементы первой и второй строк пропорциональны;

ж) если элементы какой–либо строки или столбца определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель можно разложить на сумму двух соответствующих определителей;

з) величина определителя не изменяется, если к элементам какой– либо строки или столбца прибавить (или отнять) элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число.

Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений   (2) Система трех уравнений может быть решена по правилу Крамера, рассмотренному выше для системы двух уравнений. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных . Назовем его определителем системы. Если D≠0, то система совместна. Далее составим три вспомогательных определителя: ,,. Решение системы (2) находим по формулам: ,,,  (3) которые называют формулами Крамера. Пример 3. Решить систему уравнений  Решение. Вычислим определитель системы. . Система совместна, так как D≠0. Вычислим теперь вспомогательные определители: , ,. Тогда , ,

Модульная контрольная работа № 0

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №1                        

1.  Обчислити.                                                                    

,   a=10, b=7

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=4, b=2, c=3

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №2  

1.  Обчислити.  

, a=8, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=2, b=3, c=4

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №3

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=2

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=6, b=8, c=4

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №5

1.  Обчислити.

, a=3, b=1

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=4, b=3, c=2

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №6

1.  Обчислити.                                                                    

, a=4, b=2

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=7, b=6, c=5

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №7

1.  Обчислити.                                                                    

, a=10, b=7

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=4, b=3, c=2

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №8

1.  Обчислити.                                                                    

, a=8, b=6

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=7, b=6, c=5

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №9

1.  Обчислити.                                                                    

, a=5, b=3

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=9, b=8, c=7

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №10

1.  Обчислити.                                                                    

, a=8, b=7

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=5, b=6, c=7

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №11

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=4, b=3, c=2

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №12

1.  Обчислити.                                                                    

, a=10, b=7

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=7, b=6, c=5

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №13

1.  Обчислити.                                                                    

, a=4, b=2

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=10, b=9, c=8

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №14

1.  Обчислити.                                                                    

, a=7, b=6

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=8, b=7, c=6

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №15

1.  Обчислити.                                                                    

, a=5, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=10, b=9, c=8

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №16

1.  Обчислити.                                                                    

, a=10, b=6

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=8, b=7, c=6

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №17

1.  Обчислити.                                                                    

, a=9, b=7

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=10, b=6, c=2

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №18

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=6, b=7, c=8

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №19

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=5

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=10, b=8, c=6

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №20

1.  Обчислити.                                                                    

, a=3, b=2

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=9, b=7, c=5

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №21

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=6, b=5, c=4

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №22

1.  Обчислити.                                                                    

, a=8, b=6

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=8, b=6, c=4

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №23

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=7, b=5, c=3

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №24

1.  Обчислити.                                                                    

, a=5, b=3

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=5, b=6, c=7

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №25

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=6, b=7, c=8

7.  Побудувати графік функції.

Модульная контрольная работа № 1

Высшая математика.  1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №1

1.  Расстояния между двумя точками на осях координат и на плоскости.

2.  Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3.  Каноническое уравнение эллипса. Форма, свойства и построение эллипса.

4.  Является ли прямоугольным треугольник с вершинами , ,  ?

5. Построить точки   и найти точку , делящую отрезок  в отношении
6. Построить гиперболу  и составить уравнения ее асимптот.
7.  Составить уравнение окружности с центром в точке  и радиусом .

Высшая математика. 1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №2

1.  Общee уравнение прямой. Уравнение осей координат.

2.  Каноническое уравнение параболы. Свойства и форма параболы. Построение параболы.

3.  Область определения  для канонического уравнения эллипса.

4.  Составить уравнение гиперболы, для которой действительная полуось , эксцентриситет .

5.  Составить  уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

6.  Дан треугольник с вершинами. Построить его и составить уравнение одной  из высот треугольника.

7.  Найти точки пересечения гиперболы  с осями координат и построить ее.

Высшая математика. 1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №3

1.  Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2.  Расстояние между точками ,   на плоскости.

3.  Определение, свойства и форма гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы.

4.  Построить окружность с центром в точке  и радиусом и записать ее уравнение.

5.  Найти фокусы и эксцентриситет эллипса  .

6.  Дан треугольник с вершинами.Составить уравнение медианы .

7.  Найти точки пересечения линии  и координатных осей.

Высшая математика. 1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №4

1.  Координаты фокусов эллипса.

2.  Уравнeние прямой в отрезках на осях.

3.  Виды парабол. Каноническое уравнение параболы.

4.  Дан эллипс. Определить полуоси эллипса и построить эллипс.

5.  Найти угол между прямыми .

6.  Составить уравнение прямой, проходящей через точки .

7.  Составить  уравнение гиперболы, зная, что  полуось  равна 6, а эксцентриситет  .

Высшая математика.  1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №5

1.  Координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении.

2.  Диаметры эллипса.

3.  Фокус и директриса параболы.

4.  Составить уравнение прямой, проходящей через точки .

5.  Найти периметр треугольника с вершинами .

6.  Найти центр и радиус окружности .

7.  Построить  гиперболу . Составить уравнения её осей симметрии.

Высшая математика.  1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №6

1.  Угол между двумя прямыми на плоскости.

2.  Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3.  Координаты фокуса параболы. Свойства параболы

4.  Для эллипса малая ось равна 24, а удвоенное расстояние между фокусами . Составить уравнение эллипса и построить его..

5.  Вычислить площадь треугольника с вершинами 

6.  Найти центр и радиус окружности

7.  Построить гиперболу  Найти расстояние между её вершиной и фокусом.

Высшая математика.  1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №7

1.  Виды уравнений окружности.

2.  Каноническое уравнение параболы. Форма параболы.

3.  Уравнeние прямой в отрезках на осях. Горизонтальне и вертикальне прямые.

4.  Построить эллипс . Определить полуоси эллипса и построить эллипс.

5.  Найти длину высоты  треугольника с вершинами , , .

6.  Построить директрису параболы

7.  Найти угол между горизонтальной осью симметрии гиперболы  и  её асимптотой.

Высшая математика.  1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №8

1.  Расстояние между точками  на плоскости и на осях координат