Вычисление переходной реакции цепи. Вычисление интеграла Дюамеля

Задание на курсовую работу:

Схема:

Входной сигнал:

I.  Вычисление переходной реакции цепи

Переходная реакция цепи вычисляется как реакция цепи на входное воздействие в виде единичной функции 1(t). Численно она равны напряжению на выход цепи и равна:

Состояние цепи по-прошествии бесконечно большого отрезка времени.

Напряжение на выходе цепи будет равно:

I2 = 1/2I1 => U2 = I2*Rэкв

Rэкв =

U2 = I2*Rэкв = 0,856*0,5 = 0,428 В

Cостояние цепи в момент времени t = 0+.

Напряжение на выходе цепи будет равно:

U2 = 1/2U1 = 0.5B

Из выше рассчитанных данных получим величину свободной составляющей:

U2 = 0,428+A*e^pt => 0.5 = 0.428+A => A=0.072

Рассчитаем P:

т = => P = - = -1200

Окончательно имеем: g(t)=0.428+0.072*e^-1200t

Рассчитаем импульсную характеристику H(jw) цепи через g(t), логическая цепочка для расчета выглядит следующим образом:

g(t) => h(t) => h(jw)

h(t) = g`(t)+g(0)*6(t) = 0.5*6(t)+0.072*(-1200)e^-1200t =>

h(jw) = =0.5- = 0.5- =

II.  Вычисление интеграла Дюамеля:

Весь отрезок времени разбивается на 3 интервала. Границы интервалов приходятся на t₀=0 mc, t₁=2 mc, t₂=4 mc. Значения функции входного сигнала и его производных на каждом интервале в отдельности приведены ниже. Выходное напряжение запишется так:

Первый интервал:

0 ≤ t ≤t1

U(0) = 10 B

U(t) = 10

U’(t) = 0

U₂(t) = U(0)*g(t)+ = 4.28+0.72*e^-1200t

Второй интервал:

t1 ≤ t ≤t2

U(t1) = -5 B

U(t) = -2500 B/c

U’(t) = 0

U₂(t) = U(0)*g(t)++ U(t₁)*g(t-t₁)+  = 4.28+0.72*e^-1200t – 2.14 – 0.36* e^-1200(t-t1) +2.14 – 1070t+0.15* e^-1200t = 4.28+0.51 e^-1200t-1070*t

Третий интервал:

t2 ≤ t ≤ ∞

U(t2) = 0 B

U(t) = -2500 B/c

U’(t) = 0

U₂(t) = U(0)*g(t)++ U(t₁)*g(t-t₁)+  + U(t2)*g(t-t₂)+  = 4.28+0.72*e^-1200t – 2.14 – 0.36* e^-1200t +2.12 – 1070t+0.15* e^-1200t = 4.28-2.14+0.72* e^-1200t-0.36^{* e-1200t} – 2.14 = 0.36* e^-1200t

График функции на выходе построен при использовании программы DML.

III.  Нахождение спектральной плотности входного сигнала.

Для нахождения спектральной плотности входного сигнала функция сигнала U1(t) представляется в виде суммы четырёх «простейших» функций, изображенных ниже.

f1(t) = 0, при t<0       f1(t) => F₂(p) =

f1(t) = 10, при t≥0

f2(t) = 0, при t<0       f2(t) => F₂(p) = -  e^-pt1

f2(t) = -5, при t≥0

f3(t) = 0, при t<0       f3(t) => F₃(p) = -  e^-pt1

f3(t) = -2500*t, при t≥0

f4(t) = 0, при t<0       f4(t) => F₄(p) =  e^-pt2

f4(t) = 10, при t≥0

Изображение входного сигнала записывается как сумма «простейших» функций:

F(p) = F₁(p)+F₂(p)+F3(p)+F₄(p) =  -  e^-pt1 -  e^-pt1 +  e^-pt2 = -coswt₁

-  coswt_{1 +}  coswt₂ – j(sinwt₁ +  sinwt₁ -  sinwt₂)

АЧХ спектральной плотности входного сигнала:

U₁=

Его фазовая характеристика:

=arctg=  

Спектр входного сигнала S1(F)                          Спектр входного сигнала Q1(F)

График АЧХ цепи                                          График ФЧХ цепи

Спектр выходного сигнала S2ц(F)          Спектр выходного сигнала Q2(F)

IV.  Передаточная функция по напряжению цепи равна:

Для упрощения расчетов нам необходимо преобразовать исходную схему цепи методом «звезды», получим:

U₂ = *;

Z_экв = +=+ = ;

H = ==;

Результат расчета совпадает с рассчитанной формулой для H(jw) в пункте I.

V.  Дискретизация.

Исходя из данных таблицы необходимо выбрать частоту дискретизации равную 10кГц. Данная частота позволяет наиболее точно представить входной сигнал в виде дискретных отсчетов.

Дискретные значения импульсной характеристики вычисляются по формуле:

H(n)=0.428*6(n)-T*86.4 e^-1200*T*n

Дискретные значения функции входного сигнала и импульсной характеристики:

Дискретные значения сигнала на выходе цепи вычисляются с помощью формулы дискретной свертки:

U₂(t)=

Дискретный сигнал на выходе цепи:

Спектральная характеристика  дискретизированного сигнала U₁(t) могут быть вычислены на любой частоте, однако для упрощения расчетов целесообразно ограничиться 4-5 значениями частоты, на которых показательная функция e^jwnt легко вычисляема:

U1(0) = T *

Результат вычисления спектральной плотности дискретизированного сигнала U₁(t) по формуле:

U₁(jw) = T*

U1(0) = 20.25

U1(1250) = 0.75

U1(2500) = 0.25

U1(3750) = 0.75

U1(5000) = 20.25

Z-преобразование дискретной цепи, дискретные значения которой H(n) приведены в таблице, записывается в виде:

Н(Z) = 0.428-

Учитывая, что Z-преобразование входного и выходного дискретных сигналов связаны между собой соотношением Y(Z)=X(Z)*H(Z), можем записать:

Y(Z) =X(Z)*

Путем несложных математических преобразований мы получаем:

Y(Z) = X(Z)*0.42-X(Z)*0.3796*Z^-1+Y(Z)*0.887*Z^-1

Схема дискретной цепи, реализующее это состояние, имеет вид: