Использование математических методов в экономике или экономико-математическое моделирование

развитием экономической науки и электронно-вычислительной техники все большую роль начинает играть использование математических методов в экономике, или экономико-математическое моделирование.

Любая модель представляет собой упрощенное отображение предмета, процесса или явления. Модель экономического процесса или явления, которая описывает поведение моделируемого объекта с помощью математических выражений, называется экономикоматематической моделью.

Такие модели широко используются на практике для анализа и прогнозирования экономической ситуации, а также поддержки процесса принятия решений как на микро-, так и на макроуровне (на отдельных предприятиях и на рынках). Благодаря упрощению модель делает экономическую ситуацию более обозримой, но при этом совокупность данных модели должна содержать информацию, достаточную для того, чтобы судить о главных существенных чертах моделируемого объекта и принимать соответствующие решения. 

В процессе производства экономико-математические модели играют вспомогательную роль, окончательное решение является прерогативой руководителя. Это связано со сложностью и недостаточной изученностью комплекса экономики, которая представляет собой сложную систему, отличающуюся целенаправленным поведением своих элементов, интересы которых могут приходить в противоречие с интересами системы в целом.

Моделирование экономических ситуаций средствами исследования операций представляет собой один из видов экономико-математического моделирования. В широком смысле слова под исследованием операций понимают математический аппарат поддержки процесса принятия решения в различных областях человеческой деятельности.

При этом операцией называют любое мероприятие, объединенное общим замыслом и направленное к достижению определенной цели. Операция обязательно должна быть управляемой, т.е. включать как факторы среды, так и элементы решения.

Чтобы оценить операцию, необходимо определить критерий ее эффективности - показатель того, насколько результат операции соответствует ее целям (в зависимости от предпринятых действий). Чтобы исследовать операцию, строят ее математическую модель - формальные отношения, устанавливающие связь принятого критерия эффективности с объективными условиями и обстоятельствами, определяющими ход операции.

1  Постановка задачи линейного программирования 

1.1 Постановка задачи производственного планирования

Построим математическую модель следующей экономической ситуации.

Модель в общем виде Пример

Предприятие выпускает     n видов Кондитерская фабрика при производстве продукции, которая реализуется по ценам c_j, двух видов карамели (n = 2) - «Снежинка» и

Заданы нормы затрат ресурсов - а_ij - На выпуск 1 т «Снежинки» расходуется количество i-го вида ресурса, расходуемого 0,8 т сахара, 0,2 т патоки и 0,01 т фруктового на производство единицы j-го вида пюре, а на выпуск 1 т «Яблочной» - продукции.  соответственно по 0,5 т, 0,4 т и 0,1 т этих  видов сырья (a₁₁ = 0,8; a₁₂ = 0,5; …; a₃₂ = 0,1)^*.

Необходимо определить план выпуска Необходимо найти план производства продукции, при котором выручка карамели, который даст наибольшую предприятия будет наибольшей. прибыль.

Описанная ситуация представляет собой задачу производственного планирования (или задачу об использовании ресурсов). Чтобы построить математическую модель данной ситуации, прежде всего введем переменные, значения которых определяют принимаемое решение. В самом деле, что в данном случае означает «план производства»? Очевидно, следует найти, сколько именно нужно выпускать продукции каждого вида.

Обозначим х_j - выпуск j-го вида Обозначим х₁ - производство карамели продукции.  «Снежинка», т; х₂ - производство карамели

«Яблочная», т.

Теперь задумаемся о цели данной операции. В данном случае целью является получение как можно более высокой общей выручки или прибыли. Каким образом можно вычислить ее через исходные данные задачи и введенные нами обозначения?

Если от одной единицы j–го вида Общая прибыль от производства продукции выручка составит          c_j, и карамели «Снежинка» составит 108х₁ руб. предприятие выпускает х_j этого вида В самом деле, если выпустить 10 т этой продукции, то прибыль от всей такой карамели (х₁=10), то прибыль от нее продукции составит c_jx_j.  составит 108*10 = 1080 (руб.), если  выпустить 2 т, то 108*2 = 216 (руб.); если вообще не выпускать эту карамель, то и прибыли от нее не будет – 108*0 = 0, и т.д. Аналогично прибыль от «Яблочной» составит 140х₂ руб. 

Если просуммировать эти произведения Общая прибыль представляет собой