Элементы проектирования цифровых фильтров. Аппроксимация в процессе синтеза рекурсивных цифровых фильтров

Элементы проектирования цифровых фильтров.

Аппроксимация в процессе синтеза рекурсивных цифровых фильтров

Известно 3 группы методов расчета передаточных функций рекурсивного цифрового фильтра (РЦФ):

1.  Метод преобразования аналоговых фильтров в цифровые. Это метод билинейного преобразования, метод инвариантности импульсной характеристики, метод согласованного Z-преобразования.

2.  Прямой метод расчета РЦФ в Z-плоскости.

3.  Методы, использующие алгоритмы оптимизации.

Метод билинейного преобразования

Для расчета частотно избирательных РЦФ (это ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) наиболее подходящим является метод билинейного Z-преобразования передаточной функции T(S) аналоговой в передаточную функцию H(S) цифрового фильтра. Широко известны следующие группы аналоговых фильтров:

1.  Баттерворта с монотонно убывающей АЧХ, фильтр типа B

2.  Чебышева с равноволновой в полосе пропускания и монотонно убывающей в полосе заграждения, фильтр типа T

3.  Инверсный Чебышева с монотонной в полосе пропускания и равноволновой в полосе заграждения, фильтр типа I

4.  Золоторева-Кауера, фильтр типа C – эллиптический, АЧХ везде равноволновая.

Эти фильтры подробно табулированы для любого из этих фильтров приводится передаточная функция T(S), вид АЧХ и связь граничных частот с параметрами фильтра. Это исходные данные для билинейного преобразования. Здесь используется конформное преобразование точек S-плоскости в точки Z-плоскости.

Между Z и S создается функциональная связь. Для каждого типа фильтров своя.

 - для НЧ фильтра

 - постоянный множитель, который не меняет форму преобразования, такая связь обеспечивает однозначное преобразование передаточной функции аналогового фильтра прототипа T(S) в H(Z) РЦФ.

Каждой точке S плоскости ставиться в соответствие точка Z – плоскости. При этом мнимая ось  преобразуется на Z плоскости в

Все точки слева  лежат внутри единичной окружности, это значит, что аналоговый фильтр прототип устойчив, а значит устойчив и РЦФ.

Соотношение между аналоговой и цифровой частотой нелинейно

Для частотно избирательных фильтров, у которых аппроксимация АЧХ имеет вид кусочнопостоянной функции, такая зависимость между цифровой и аналоговой частотами не приводит к нарушению избирательных свойств фильтра. Если параметр  , то перейдем к нормированному аналоговому фильтру прототипу . Это для удобства использования справочников по фильтрам. Для каждого типа фильтра есть свое билинейное преобразование.

Вид ЦФ	Граничные частоты	Замена	Параметр	Связь частот	Граничные частоты
НЧ
ВЧ
ПФ
РФ

Порядок определения передаточной функции РЦФ.

Есть некоторые отличия для НЧ ВЧ и ПФ РФ. Для НЧ ВЧ заданного типа исходными данными являются  - частота дискретизации,  и , верхняя граница рабочего затухания в полосе пропускания , граничное затухание в полосе заграждения .

Определение передаточной функции идет по этапам:

1.  Расчет нормированных цифровых частот ,

2.  Расчет параметра преобразования

3.  Нахождение граничной аналоговой частоты  полосы задержания АФ-прототипа.

4.  Определение передаточной функции АФ-прототипа (из справочника , , )

5.  Определение передаточной функции H(Z) ЦФ с помощью билинейного Z-преобразования

6.  Контрольный расчет АЧХ и затухания полученного фильтра

Для ПФ РФ отличие заключается в том, что нужно больше исходных данных , , , , , , . Алгоритм определения H(Z) такой же, но отличие в том, что на втором этапе определяются два параметра  и .

Для билинейного преобразования в полиномах 1-го порядка появится полином 2-го порядка, а в полиноме T(S) 2-го порядка появится полином  4-го порядка. При получении окончательного выражения для H(Z)  надо разложить его на множители в виде 2-го порядка.

Практические методы реализации цифровых фильтров.

Различают 3 класса методов реализации ЦФ:

1.  Метод свертки

2.  Метод рекурсии

3.  Метод преобразования Фурье

В зависимости от конкретных особенностей фильтра наиболее желательной может оказаться одна из трех реализаций, хотя это разбиение и условно.

Метод свертки основан на использовании импульсной характеристики фильтра:

, применение этого метода возможно тогда, когда импульсная характеристика является ограниченной во времени функцией. Это КИХ фильтр.

Метод рекурсии основан на исходной форме разностного уравнения

 это приводит к БИХ фильтру

Метод преобразования Фурье основан на том, что дискретное преобразование свертки 2-х функций, это произведение ДПФ одной функции на комплексно сопряженное ДПФ другой функции 

Каждый из методов имеет свои преимущества и свои недостатки. Применение первого метода позволяет получить линейную ФЧХ. Мощность собственных шумов НРЦФ << мощности шумов рекурсивного ЦФ. В НРЦФ эта мощность равна 0, если операции умножения и сложения выполняются точно, у РЦФ мощность шума не равна 0, т.к. в цепи обратной связи этого фильтра всегда выполняется округление при вычислении произведения отсчетов сигнала на коэффициенты фильтра. Исключением является ограниченный класс рекурсивных фильтров, имеющих ограниченные импульсные характеристики – однородные фильтры.

Для НРЦФ проще процесс вычисления его коэффициентов, т.к. аппроксимирующая функция линейно зависит от этих коэффициентов. В системах с изменением частоты дискретизации применение не рекурсивных ЦФ уменьшает число арифметических операций. Но у НРЦФ есть недостаток: при одинаковых требованиях к АЧХ, отсутствии требований к ФЧХ и постоянной частоте дискретизации они требуют выполнения значительно большего числа арифметических операций. В результате усложняется схемная реализация.

Третий метод используется, когда порядок фильтра большой. Его реализация по другим методам ведет к сложным схемам или длительным вычислениям. Здесь целесообразно реализовать фильтр на основе БПФ. Преимущество сказывается когда порядок фильтра > (28-30).

Примера цифровых фильтров

ЦФ первого порядка:

  

   , если входной сигнал этого фильтра будет ступенчатая единичная функция      

Переходные характеристики: