Обработка результатов многократных измерений физической величины, проверка статистических гипотез и представление результата измерения

Страницы работы

29 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению) рекомендуется распределение считать нормальным, так как надежность оценки   повышается.

Расчетная часть
Техническое задание:

Физическая  величина  -  мощность,  размерность  -  Вт;  средство  измерения  -  ваттметр; разрешающая  способность  0,02;

количество  измерений  ряда  наблюдений  n = 100;

уровень  значимости  q = 0,10;

доверительная  вероятность  РД = 0,99.

Результаты  наблюдений  приведены  в  таблице 1 (в  Вт).

Таблица 1.  Результаты наблюдений многократных прямых измерений.

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi

75.90

76.20

76.36

75.74

75.96

76.00

75.92

76.16

75.20

76.44

i

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

xi

75.98

75.68

76.18

75.54

76.40

76.74

75.70

75.96

75.94

76.24

i

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

xi

75.48

76.22

75.62

76.18

75.88

75.26

75.44

76.24

76.02

76.42

i

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

xi

75.94

76.12

75.78

75.92

76.48

75.50

76.66

76.14

76.10

75.76

i

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

xi

75.84

75.80

75.60

76.26

76.06

75.96

75.86

75.58

76.30

76.20

i

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

xi

75.98

75.82

75.84

75.72

75.90

76.36

76.12

75.82

75.80

75.64

i

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

xi

76.34

76.04

76.22

75.78

75.56

75.76

76.00

76.04

76.28

76.26

i

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

xi

76.02

76.08

75.74

75.52

76.46

75.88

76.62

75.94

75.72

76.08

i

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

xi

76.30

75.96

75.70

75.68

75.46

76.00

75.90

76.14

76.20

75.98

i

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

xi

76.28

76.16

75.62

75.30

75.92

75.66

76.32

75.86

75.76

76.06

Обработка ряда наблюдений.

Находим минимальный и максимальный член ряда наблюдений:

xmin = 75,20 Вт

xmax = 76,74 Вт

Диапазон наблюдений разбиваем на r = 7 одинаковых интервалов Δxj, равных:

Δxj = (xmax  - xmin )/ r = 0,22 Вт

Δxj = h = 0,22 Вт ,  j = 1...7

Таблица 2.  Полученные интервалы.

1

75,20

75,42

2

75,42

75,64

3

75,64

75,86

4

75,86

76,08

5

76,08

76,30

6

76,30

76,52

7

76,52

76,74

Находим середины интервалов xj и подсчитываем частоту каждого интервала:

Таблица 3.  Расчетные данные.

j

xj,  Вт

mj

,1/Вт

ηj

ηj2

mj* ηj

mj* ηj2

1

75,31

3

0,03

0,14

-3

9

-9

27

2

75,53

11

0,11

0,50

-2

4

-22

44

3

75,75

21

0,21

0,95

-1

1

-21

21

4

75,97

29

0,29

1,32

0

0

0

0

5

76,19

22

0,22

1,0

1

1

22

22

6

76,41

11

0,11

0,50

2

4

22

44

7

76,63

3

0,03

0,14

3

9

9

27

Суммы:

100

-

-

-

-

1

185

Наибольшая частота приходится на пятый интервал, поэтому в качестве «ложного нуля» принимаем:

X0 = X4 =75,97 Вт.

Вычисляем статистические оценки вероятностей попадания результата наблюдений в j-ый интервал – частости  по формуле:

=

Вычисляем оценки средней плотности распределения в интервалах:

 


Строим гистограмму статистического распределения (рис.1).

Рисунок 1.  Гистограмма  статистического  распределения.

Из вида гистограммы можно сделать предположение, что закон распределения результатов наблюдений является нормальным.

Вычисляем для каждого интервала значение  ηj :

Находим значения начальных моментов:

Вычисляем оценку второго центрального момента:

Определяем значения моментов наблюдений:

Вычисляем исправленные значения моментов:

Определяем точные оценки истинного значения тока, с.к.о. результатов наблюдений и измерений:

Проверяем наличие грубых погрешностей по критерию «трех сигм»:

=3. =0,8772(Вт).

Наибольшие случайные отклонения равны:

|V(xmin)|=|xmin-|=|75,20–75,9722|=0,7722 < 0,8772 (Вт);

|V(xmax)| = | xmax-|=|76,74–75,9722|=0,7678  < 0,8772 (Вт).

Таким образом, среди результатов наблюдений нет таких, в которых были бы грубые погрешности.  

Проверка нормальности закона распределения, используя критерии Колмогорова, χ2, ω2.

1. Критерий Колмогорова.

В таблицу 4 записываем значения: x1;x1+jΔ ;…; x1+kΔ, j=0,…,k, где Δ – разрешающая способность средства измерения ( измеряемое приращение интервала – Δ=0,02 Вт); k – число приращений интервала, вычисляемое по формуле:

k = (xmax –xmin)/D  

k = (76,74-75,20)/ 0,02= 77;

Записываем частоты mj+1(m1,…,mk+1), которые установлены для значений                             x1,…,x1+k.Δ.

Вычисляем параметры опытного распределения:

и определяем функции опытного распределения:

Определяем значения интегральной функции нормированного нормального распределения. Используем для этого значения нормированной функции Лапласа Ф(|z|) и формулу Ф(z)=0,5+ Ф(z), при этом Ф(z)= Ф(|z|)  при z≥0 и Ф(z)  =  - Ф(|z|)  при z<0.

По данным таблицы 6 находим максимальное абсолютное отклонение функции опытного распределения от функции теоретического распределения:

Dmax = max|Фn(zj+1)-Ф(zj+1)|;

Dmax = 0,04433;

Вычисляем значение проверяемого параметра:

ln=Dmax*= 0,04433*10= 0,4433.

Таблица 4. Рассчитанные значения.

j

x1+j*Δ

mj+1

zj+1

Фn(Zj+1)

Ф(Zj+1)

Фn(Zj+1)- Ф(Zj+1)

0

75,20

1

-2,6409

0,01

0,00415

0,00585

1

75,22

0

-2,5725

0,01

0,00508

0,00492

2

75,24

0

-2,5041

0,01

0,00621

0,00379

3

75,26

1

-2,4357

0,02

0,00734

0,01266

4

75,28

0

-2,3673

0,02

0,00889

0,01111

5

75,30

1

-2,2989

0,03

0,01072

0,01928

6

75,32

0

-2,2305

0,03

0,01287

0,01713

7

75,34

0

-2,1621

0,03

0,01559

0,01461

8

75,36

0

-2,0937

0,03

0,01831

0,01169

9

75,38

0

-2,0253

0,03

0,02118

0,00882

10

75,40

0

-1,9569

0,03

0,02500

0,00500

11

75,42

0

-1,8885

0,03

0,02938

0,00062

12

75,44

1

-1,8201

0,04

0,03438

0,00562

13

75,46

1

-1,7517

0,05

0,04006

0,00352

14

75,48

1

-1,6833

0,06

0,04648

0,01352

15

75,50

1

-1,6149

0,07

0,05370

0,01630

16

75,52

1

-1,5465

0,08

0,06057

0,01943

17

75,54

1

-1,4781

0,09

0,06944

0,02056

18

75,56

1

-1,4097

0,10

0,07927

0,02073

19

75,58

1

-1,3413

0,11

0,09012

0,01988

20

75,60

1

-1,2729

0,12

0,10204

0,01796

21

75,62

2

-1,2045

0,14

0,11507

0,02493

22

75,64

1

-1,1361

0,15

0,12714

0,02286

23

75,66

1

-1,0677

0,16

0,14231

0,01769

24

75,68

2

-0,9993

0,18

0,13567

0,04433

25

75,70

2

-0,9309

0,20

0,17619

0,02381

26

75,72

2

-0,8625

0,22

0,19489

0,02511

27

75,74

2

-0,7941

0,24

0,21476

0,02524

28

75,76

3

-0,7257

0,27

0,23270

0,03730

29

75,78

2

-0,6573

0,29

0,25463

0,03537

30

75,80

2

-0,5889

0,31

0,27760

0,03240

31

75,82

2

-0,5205

0,33

0,30153

0,02847

32

75,84

2

-0,4521

0,35

0,32636

0,02364

33

75,86

2

-0,3837

0,37

0,35197

0,01803

34

75,88

2

-0,3153

0,39

0,37448

0,01552

35

75,90

3

-0,2469

0,42

0,40129

0,01871

36

75,92

3

-0,1785

0,45

0,42858

0,02142

37

75,94

3

-0,1101

0,48

0,45620

0,02380

38

75,96

4

-0,0417

0,52

0,48405

0,03595

39

75,98

3

0,0267

0,55

0,51197

0,03803

40

76,00

3

0,0951

0,58

0,53983

0,04017

41

76,02

2

0,1635

0,60

0,56356

0,03644

42

76,04

2

0,2319

0,62

0,59095

0,02905

43

76,06

2

0,3003

0,64

0,61791

0,02209

44

76,08

2

0,3687

0,66

0,64431

0,01569

45

76,10

1

0,4371

0,67

0,67003

-0,00003

46

76,12

2

0,5055

0,69

0,69497

-0,00497

47

76,14

2

0,5739

0,71

0,71566

-0,00566

48

76,16

2

0,6423

0,73

0,73891

-0,00891

49

76,18

2

0,7107

0,75

0,76115

-0,01115

50

76,20

3

0,7791

0,78

0,78230

-0,00230

51

76,22

2

0,8475

0,80

0,80234

-0,00234

52

76,24

2

0,9159

0,82

0,82121

-0,00121

53

76,26

2

0,9843

0,84

0,83646

0,00354

54

76,28

2

1,0527

0,86

0,85314

0,00686

55

76,30

2

1,1211

0,88

0,86864

0,01136

56

76,32

1

1,1895

0,89

0,88298

0,00702

57

76,34

1

1,2579

0,90

0,89617

0,00383

58

76,36

2

1,3263

0,92

0,90824

0,01176

59

76,38

0

1,3947

0,92

0,91924

0,00076

60

76,40

1

1,4631

0,93

0,92768

0,00232

61

76,42

1

1,5315

0,94

0,93699

0,00301

62

76,44

1

1,5999

0,95

0,94520

0,00480

63

76,46

1

1,6683

0,96

0,95254

0,00746

64

76,48

1

1,7367

0,97

0,95907

0,01093

65

76,50

0

1,8051

0,97

0,96485

0,00515

66

76,52

0

1,8735

0,97

0,96926

0,00074

67

76,54

0

1,9419

0,97

0,97381

-0,00381

68

76,56

0

2,0103

0,97

0,97778

-0,00778

69

76,58

0

2,0787

0,97

0,98124

-0,01124

70

76,60

0

2,1471

0,97

0,98422

-0,01422

71

76,62

1

2,2155

0,98

0,98679

-0,00679

72

76,64

0

2,2839

0,98

0,98870

-0,00870

73

76,66

1

2,3523

0,99

0,99061

-0,00061

74

76,68

0

2,4207

0,99

0,99224

-0,00224

75

76,70

0

2,4891

0,99

0,99361

-0,00361

76

76,72

0

2,5575

0,99

0,99477

-0,00477

77

76,74

1

2,6259

1,00

0,99573

0,00427

n=100

Dmax=0,04433

Так как q =0,10  , то = 1,36.

1-q = P{};

Так как  = 0,4433<  = 1,36 -  то согласно критерию Колмогорова гипотеза о нормальности закона распределения подтверждается.

2. Критерий  χ2.

Для проверке нормальности закона распределения согласно критерию χ2 данные расчетов привели в таблице.

Аналогично интервал от хmin=75,20 Вт до хmax=76,74 Вт разбили на r=7 интервалов. Значения середин интервалов xj, частоты  приведены в таблице.

Если в некоторых интервалах попало меньше пяти наблюдений, то такие интервалы объединили с соседними.

Нашли отклонения от середин каждого из интервалов Vj=j-, а так же нормированные отклонения от среднего арифметического:

.

Для каждого интервала исходя из значения tj нашли дифференциальную функцию нормированного нормального распределения p(tj). Плотность в серединах интервалов находятся из формул:

.

Нашли теоретические частоты по формуле:

n.Pj=n.hj.P(xj).

Нашли меру расхождения ;

Таблица 5. Рассчитанные значения.      

j

xj, мА

mj

xj-

tj

P(tj)

P(xj)

nPj=nΔxj*P(xj)

x2j

1

75,31

-0,6622

-2,2647

0,0303

0,1036

0,3783

2

75,53

-0,4422

-1,5123

0,1276

0,4364

3

75,75

18

-0,2222

-0,7599

0,2989

1,0222

22,4884

0,0985

4

75,97

19

-0,0022

-0,0075

0,3977

1,3601

29,9222

0,0284

5

76,19

27

0,2178

0,7449

0,3011

1,0298

22,6556

0,0190

6

76,41

0,4378

1,4973

0,1295

0,4429

0,2888

7

76,63

0,6578

2,2497

0,0317

0,1084

100

Число степеней свободы распределения k=r-s, где r=5,  т.е. k=2.

Так как q/2=0,05

         

Учитывая, что:

< <

то распределение результатов можно считать нормальным.

3. Критерий ω2.

Для проверки нормальности закона распределения согласно критерию ω2 данные расчетов представили в таблице.

Результаты наблюдений располагаются в порядке возрастания, т.е. получается упорядоченная выборка ω2:

x1≤x2≤…≤xn

 

Вычисляем значения нормированных отклонений от среднего арифметического:

 .

Исходя из zj находим значения интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(zj).

Вычисляем значения критерия проверки:

Таблица 6. Рассчитанные значения.

j

xj

zj

Ф(zj)

ln(Ф(zj))

ln(1-Ф(zj))

Aj

1

75,20

-2,640791

0,00415

-5,48465

-0,00416

-0,031561

2

75,26

-2,435601

0,00740

-4,90628

-0,00743

-0,080910

3

75,30

-2,298808

0,01072

-4,53564

-0,01078

-0,123900

4

75,44

-1,820032

0,03438

-3,37028

-0,03498

-0,151720

5

75,46

-1,751636

0,04006

-3,21738

-0,04088

-0,183827

6

75,48

-1,683240

0,04648

-3,06873

-0,04759

-0,213757

7

75,50

-1,614843

0,05370

-2,92434

-0,05520

-0,241690

8

75,52

-1,546446

0,06057

-2,80396

-0,06248

-0,268092

9

75,54

-1,478050

0,06944

-2,66729

-0,07197

-0,292571

10

75,56

-1,409653

0,07927

-2,5349

-0,08259

-0,315558

11

75,58

-1,341257

0,09012

-2,40661

-0,09444

-0,337220

12

75,60

-1,272860

0,10204

-2,28239

-0,10763

-0,357727

13

75,62

-1,204463

0,11507

-2,16221

-0,12225

-0,377243

14

75,62

-1,204463

0,11507

-2,16221

-0,12225

-0,397642

15

75,64

-1,136067

0,12714

-2,06247

-0,13598

-0,415321

16

75,66

-1,067670

0,14231

-1,94975

-0,15351

-0,431929

17

75,68

-0,999273

0,13567

-1,99753

-0,14580

-0,451336

18

75,68

-0,999273

0,13567

-1,99753

-0,14580

-0,469853

19

75,70

-0,930877

0,17619

-1,73619

-0,19382

-0,479155

20

75,70

-0,930877

0,17619

-1,73619

-0,19382

-0,494579

21

75,72

-0,862481

0,19489

-1,63532

-0,21678

-0,507578

22

75,72

-0,862481

0,19489

-1,63532

-0,21678

-0,521763

23

75,74

-0,794084

0,21476

-1,53823

-0,24177

-0,533471

24

75,74

-0,794084

0,21476

-1,53823

-0,24177

-0,546436

25

75,76

-0,725688

0,23270

-1,45801

-0,26488

-0,557194

26

75,76

-0,725688

0,23270

-1,45801

-0,26488

-0,569125

27

75,76

-0,725688

0,23270

-1,45801

-0,26488

-0,581056

28

75,78

-0,657291

0,25463

-1,36794

-0,29387

-0,589244

29

75,78

-0,657291

0,25463

-1,36794

-0,29387

-0,599984

30

75,80

-0,588894

0,27760

-1,28157

-0,32518

-0,607314

31

75,80

-0,588894

0,27760

-1,28157

-0,32518

-0,616878

32

75,82

-0,520498

0,30153

-1,19889

-0,35886

-0,623470

33

75,82

-0,520498

0,30153

-1,19889

-0,35886

-0,631870

34

75,84

-0,452101

0,32636

-1,11975

-0,39506

-0,637832

35

75,84

-0,452101

0,32636

-1,11975

-0,39506

-0,645079

36

75,86

-0,383705

0,35197

-1,04421

-0,43382

-0,650507

37

75,86

-0,383705

0,35197

-1,04421

-0,43382

-0,656611

38

75,88

-0,315308

0,37448

-0,98222

-0,46917

-0,661564

39

75,88

-0,315308

0,37448

-0,98222

-0,46917

-0,666694

40

75,90

-0,246912

0,40129

-0,91307

-0,51298

-0,671015

41

75,90

-0,246912

0,40129

-0,91307

-0,51298

-0,675016

42

75,90

-0,246912

0,40129

-0,91307

-0,51298

-0,679017

43

75,92

-0,178515

0,42858

-0,84728

-0,55963

-0,681881

44

75,92

-0,178515

0,42858

-0,84728

-0,55963

-0,684757

45

75,92

-0,178515

0,42858

-0,84728

-0,55963

-0,687634

46

75,94

-0,110119

0,45620

-0,78482

-0,60917

-0,689095

47

75,94

-0,110119

0,45620

-0,78482

-0,60917

-0,690851

48

75,94

-0,110119

0,45620

-0,78482

-0,60917

-0,692608

49

75,96

-0,041722

0,48405

-0,72557

-0,66175

-0,692699

50

75,96

-0,041722

0,48405

-0,72557

-0,66175

-0,693337

51

75,96

-0,041722

0,48405

-0,72557

-0,66175

-0,693975

52

75,96

-0,041722

0,48405

-0,72557

-0,66175

-0,694614

53

75,98

0,026675

0,51197

-0,66949

-0,71738

-0,692237

54

75,98

0,026675

0,51197

-0,66949

-0,71738

-0,691758

55

75,98

0,026675

0,51197

-0,66949

-0,71738

-0,691279

56

76,00

0,095075

0,53983

-0,6165

-0,77616

-0,687549

57

76,00

0,095075

0,53983

-0,6165

-0,77616

-0,685952

58

76,00

0,095075

0,53983

-0,6165

-0,77616

-0,684356

59

76,02

0,163468

0,56356

-0,57348

-0,82910

-0,679565

60

76,02

0,163468

0,56356

-0,57348

-0,82910

-0,677009

61

76,04

0,231864

0,59095

-0,52602

-0,89392

-0,671342

62

76,04

0,231864

0,59095

-0,52602

-0,89392

-0,667663

63

76,06

0,300261

0,61791

-0,48141

-0,96210

-0,661670

64

76,06

0,300261

0,61791

-0,48141

-0,96210

-0,656863

65

76,08

0,368657

0,64431

-0,43958

-1,03370

-0,650488

66

76,08

0,368657

0,64431

-0,43958

-1,03370

-0,644547

67

76,10

0,437054

0,67003

-0,40043

-1,10875

-0,637720

68

76,12

0,505451

0,69499

-0,36386

-1,18741

-0,631513

69

76,12

0,505451

0,69499

-0,36386

-1,18741

-0,623277

70

76,14

0,573847

0,71566

-0,33455

-1,25758

-0,616076

71

76,14

0,573847

0,71566

-0,33455

-1,25758

-0,606845

72

76,16

0,642244

0,73891

-0,30258

-1,34289

-0,599068

73

76,16

0,642244

0,73891

-0,30258

-1,34289

-0,588665

74

76,18

0,710640

0,76115

-0,27292

-1,43192

-0,580058

75

76,18

0,710640

0,76115

-0,27292

-1,43192

-0,568468

76

76,20

0,779037

0,78230

-0,24552

-1,52464

-0,558901

77

76,20

0,779037

0,78230

-0,24552

-1,52464

-0,546110

78

76,20

0,779037

0,78230

-0,24552

-1,52464

-0,533319

79

76,22

0,847433

0,80234

-0,22022

-1,62121

-0,521434

80

76,22

0,847433

0,80234

-0,22022

-1,62121

-0,507425

81

76,24

0,915830

0,82121

-0,19698

-1,72154

-0,494267

82

76,24

0,915830

0,82121

-0,19698

-1,72154

-0,479021

83

76,26

0,984227

0,83646

-0,17858

-1,81070

-0,464198

84

76,26

0,984227

0,83646

-0,17858

-1,81070

-0,447877

85

76,28

1,052623

0,85314

-0,15883

-1,91828

-0,431545

86

76,28

1,052623

0,85314

-0,15883

-1,91828

-0,413951

87

76,30

1,121020

0,86864

-0,14083

-2,02981

-0,395840

88

76,30

1,121020

0,86864

-0,14083

-2,02981

-0,376950

89

76,32

1,189416

0,88298

-0,12445

-2,14541

-0,356863

90

76,34

1,257813

0,89617

-0,10963

-2,26500

-0,335940

91

76,36

1,326210

0,90824

-0,09625

-2,38858

-0,314018

92

76,36

1,326210

0,90824

-0,09625

-2,38858

-0,291095

93

76,40

1,463002

0,92768

-0,07507

-2,62665

-0,266437

94

76,42

1,531399

0,93699

-0,06508

-2,76446

-0,240542

95

76,44

1,599796

0,94520

-0,05636

-2,90407

-0,212983

96

76,46

1,668192

0,95254

-0,04862

-3,04787

-0,183589

97

76,48

1,736589

0,95907

-0,04179

-3,19589

-0,152185

98

76,62

2,215364

0,98679

-0,0133

-4,32678

-0,121135

99

76,66

2,352158

0,99061

-0,00943

-4,66811

-0,079314

100

76,74

2,625744

0,99573

-0,00428

-5,45614

-0,031538

А=-50,096205

Для уровня значимости q = 0,10 соответствующее значение

Похожие материалы

Информация о работе