Программа вычисления функции для заданных значений аргументов с использованием рядов

Содержание

Задание к курсовой работе .................................  2

Теоретическая часть .......................................  3

Блок-схема алгоритма решения задачи .......................  8

Программа решения задачи .................................. 11

Результаты вычисления по программе ........................ 13

Краткие выводы по решению задачи .......................... 14

Список используемой литературы ............................ 15

Задание к курсовой работе

Составить программу вычисления функции для заданных значений аргумен-тов с использованием рядов. Суммы рядов вычислить с погрешностью e.

В программе предусмотреть защиту от зацикливания итерационного процесса, подсчет и вывод на печать числа итераций, за которое удается найти сумму ряда с заданной погрешностью. Для проверки программы вывести на печать значения функций f₁ и f₂, вычисленные с помощью рядов и соответствующих им аналитических зависимостей.

₄

Функция:  п [a_i sin (wt + f₁(t)) + b_i cos(wt + f₂ (t))]

^{i = 1}

f1		f2
Функция	Ряд	Функция	Ряд
Cos x	1- x2/2!+...+(-1) n*x2n/(2n)!+	-1/2ln(1-2xcos p/3+x2	xcos p/3       x2cos 2p/3           xncos np/3  1                   2                    n

Аргументы: a = {-1.1; 1.1; 1.5; 2.0}; b = {1.5; 1.8; 2.1; 2.4}

w = 0.5; t = 0.4

Погрешность: 10^-3

Теоретическая часть

При вычислении значения функции с использованием функционального ряда

      f_n (x) = f₁(x) + f₂(x) + ... + f_n(x) + ...                                     , (1)

   n=1

задача сводится к последовательному вычислению частичных сумм  S₁(x), S₂(x), ... , S_n(x),...           , где

S_n(x) =         f_i (x).

n=0

Для сходящегося ряда существует предел

lim S_n(x) = S(x), где S(x) - сумма функционального ряда. При вычислении суммы равномерно сходящегося ряда с заданной погрешностью E в качестве окончательного результата принимается значение частичной суммы S_n (x), для которой выполняется условие

f_n(x)< E,                                                                                                  (2)

т.е. абсолютная величина очередного слагаемого не превышает значения E.

В общем случае начальное значение номера члена ряда в формуле (1) может быть отличным от единицы (например, равным нулю). Обозначив его через k, получим

S(x) =         f _n(x).                                                                                 (3)

n=k

Процесс вычисления суммы ряда (1) определяется рекуррентным соотношением

S_n (x) = _Sn-1 (x) + f_n (x),                                                                     (4)

суммирование считается законченным при выполнении условия достижения заданной точности (2). Начальное значение суммы принимается равным нулю. Алгоритм вычисления суммы функционального ряда приведен на рис. 1.

В схеме алгоритма на рис. 1 и последующих алгоритмах данной темы входными параметрами для алгоритма вычисления суммы ряда являются значения x и e (блок 1), выходными - значение суммы S (блок 7). Переменная f представляет собой значение очередного члена ряда. Поскольку в вычислениях по рекуррентной формуле (3) одновременно участвуют лишь два значения: S_n-1(x) и  S_n (x), в схеме алгоритма для их обозначения используется одна переменная S (блок 4). Значение S изменяется при прибавлении очередного члена суммы: справа от знака присваивания значение переменной S соответствует предыдущему значению суммы S_n-1 (x), слева - текущему S_n(x).

При составлении алгоритма вычисления суммы конкретного ряда в блоке (3) параметр k заменяется значением номера начального члена этого ряда, в блоке 4 величина f_n(x) -  формулой общего члена данного ряда.

Рис. 1

                                                         1

                                                            Вход (x,e)

2

                                                                 S=0

                                                         3

                                                                 n=k

                                                         4

F=fn(x) 

S=S+F

                                                         5

                                                               n=n+1  

                                                         6

                                                 -              f   > e

                                                                 

                                                           7          +

                                                          Выход (S)

Обычно формула общего члена ряда принадлежит к одному из следующих типов:

а)  cos nx / n;    sin(2n-1)x / 2n-1;   cos 2nx / 4n² - 1;

б)  xⁿ / n!;     (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ / (2n+1);     x²ⁿ /  (2n)!;

в)  n² +1 / n! (x / 2)ⁿ ;     (-1)ⁿ cos nx / n² ;     x⁴ⁿ⁺¹ / 4n+1.

В случае “а” вычисления будут наиболее эффективными, если каждый член ряда вычислять по его общей формуле. Вычисление суммы ряда в этом случае организуется по схеме, приведенной на рис. 1.

В случае “б” в формулу общего члена ряда входят целые степени и факториалы. Для вычисления f_n (x)  при этом целесообразно использовать рекуррентные соотношения, т.е. вычислять последующий член ряда через предыдущий. Это позволяет существенно сократить объем вычислений. Кроме того, непосредственное вычисление члена ряда по общей формуле в ряде случаев невозможно, например, из-за наличия факториала. Очередной член ряда можно определить через предыдущий следующим образом: