Рассмотрим помехоустойчивый двоичный (n,k) код с минимальным хемминговым расстоянием dx. Для малой величины вероятности ошибочного приема кодового слова Рош будем считать, что кодовое слово может перейти только в ближайшее кодовое слово, отличающееся на dx символов помехоустойчивого кода от переданного. Таким образом, при ошибочном приеме кодового слова из n символов получим неверно восстановленных dx символов, а из k информационных символов, передаваемых этим кодовым словом, будет пропорцианально восстановлено в среднем dxk/n символов. Тогда при ошибочном приеме кодового слова условная вероятность искажения одного информационного символа есть dx/n, которая равна числу искаженных информационных символов dxk/n, деленному на число информационных символов k. Отсюда безусловная вероятность искажения одного информационного символа:
pэ=Рошdx/n.
В частности, для ортоганальных кодов dx=n/2 и следовательно:
pэ=Рош/2.
Рассмотрим возможные методы оценки помехоустойчивости кодов при корреляционном методе приема (приема “в целом”). Известно, что точные выражения для вероятности ошибки кодового слова Рош удается найти только для ортогональных, биортогональных и симплексных сигналов, для которых области правильного приема имеют простую конфигурацию. Для многих других кодов области правильного приема либо имеют сложную форму, так что Рош не удается выразить аналитически, либо форма области правильного приема вообще неизвестна, а известны только отдельные характеристики кода такие, как минимальное расстояние между сигналами и т.д. В этих случаях приходится пользоваться верхними и нижними оценками для величины Рош.
Рассмотрим случай малой вероятности ошибки, когда принимаемый сигнал может под влиянием шумов перейти только в один из ближайших сигналов, для двух сигналов с евклидовым расстоянием d между ними. Вероятность ошибки для этого случая равна:
1
p1= ¾ [1-Ф(d/2s)] ,
2
где s2 - мощность шума в канале связи.
Если принимаемый сигнал имеет m ближайших сигналов на расстоянии d, то можно записать:
m
Рош £ mp1 = ¾ [1-Ф(d/2s)].
2
Это и есть аддитивная граница для Рош (оценка сверху или верхняя граница вероятности ошибки). Здесь знак равенства относится только к ортогональным и близким к ним кодам. Действительно, для ортогональных кодов вероятность ошибочного приема кодового слова равна:
µ 1 y 1
Рош=1-Рпр = 1- ò ¾¾ е -(y-Ö2 h)2/2 [ ò ¾¾ е -x2/2 dx]n-1 dy =
-µ Ö2p -µ Ö2p
µ 1 n-1
= (n-1) ò ¾¾ е -x2/2 dx = ¾¾ [1-Ф(h)]=mp1,
h Ö2p 2
где h2 - отношение энергии кодового слова к спектральной плотности шумов. Для ортогональных сигналов h=d/2s, вероятность ошибки для двух кодовых слов:
р1=0,5 [1-Ф(h)]=0,5 [1-Ф(d/2s)] и n-1=m.
Воспользуемся выражением Рош=mp1=0,5m[1-Ф(d/2s)] для оценки выигрыша помехоустойчивых кодов в требуемой мощности сигнала. Будем сравнивать коды при одинаковой энергии кодовых слов и при одинаковом числе информационных символов в кодовых словах. Такие коды будут обеспечивать одинаковую скорость передачи информации, но будут отличаться помехоустойчивостью и требуемой полосой канала связи. Рассмотрим двоичные (n,k) - коды. Выразим отношение d/2s через хеммингово расстояние и отношение Рсt0/N0=Еб/N0, где Еб - энергия сигнала, затрачиваемая на один бит информации; t0 - длительность одного информационного символа, поступающего на вход кодера канала связи. Расстояние между кодовыми словами выражается через хеммингово расстояние следующим образом:
d=2Ö(dxPc
).
Тогда:
(d/2s)2=dxPc/N0DF=(2Pct/N0) dx=(2Pct0/N0) dx t/t0=
=(2Еб/N0)dxk/n.
Здесь Ö(dxk/n) характеризует увеличение расстояния между сигналами по
сравнению с безызбыточным кодом. Отсюда эквивалентная вероятность ошибки с
учетом выражения для Рош:
dxm Еб dxk
рэ = ¾¾ [ 1 - Ф( 2 ¾ ¾¾ )].
2n No n
Интеграл вероятности можно аппроксимировать экспоненциальной функцией. В широкой области значений р<< 1 вероятность ошибки хорошо аппроксимируется выражением:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.