Метод эквивалентного генератора (МЭГ), основанный на теореме Гельмгольца - Тевенена и используемый для определения тока в выбранной ветви сложной цепи

2. Метод эквивалентного генератора (МЭГ).

Метод основан на теореме Гельмгольца – Тевенена и используется для определения тока в выбранной ветви сложной цепи.

Теорема Гельмгольца – Тевенена (об активном двухполюснике).

 

а                                                                                          б

Рис. 6

Согласно этой теореме, любая линейная цепь (активный двухполюсник) относительно выбранных зажимов может быть представлена ветвью (рис. 6) с последовательным соединением эквивалентного источника ЭДС - E_ЭГ и эквивалентным (входным) сопротивлением - R_ЭГ.

E_ЭГ – ЭДС генератора равна напряжению, возникающему на разорванных зажимах выбранной ветви, (E_ЭГ =U_XX12  холостой  ход генератора).

R_ЭГ – сопротивление генератора определяется как входное сопротивление схемы (R_ЭГ = R_ВХ12) относительно зажимов выбранной ветви. При расчете входного сопротивления ЭДС и ток источников тока полагаются равными нулю, а в схеме остаются внутренние сопротивления источников (для идеального источника ЭДС – R_E = 0, а источника тока – R_J = ∞).

Если активный двухполюсник (рис.6,а), к которой присоединена ветвь c резистором R_H к зажимам 1 и 2, заменить источником с ЭДС – E_ЭГ и сопротивлением – R_ЭГ (рис.6,б), то ток I_H  в присоединённой ветви не изменится.

Порядок расчёта (МЭГ):

1. Определение ЭДС эквивалентного генератора:

Ÿ  в исследуемой ветви принимается положительное направление тока, ветвь размыкается и по направлению тока вводится напряжение U_XX;

Ÿ  для простейшего контура с участием U_XX по второму закону Кирхгофа составляется уравнение. Вошедшие в него токи обозначают индексом   «_Х», например, - I_XN;

Ÿ  при разомкнутой ветви любым методом находятся токи, вошедшие в уравнение;

Ÿ  подставив их в уравнение, получают  U_XX = Е_ЭГ.

2. Отыскание сопротивление эквивалентного генератора R_ЭГ:

Ÿ  в оставшейся части цепи исключаются источники, и заменяются их внутренними сопротивлениями  R_E = 0,   R_J = ¥;

Ÿ  в случае необходимости преобразовывается схема и записывается её входное сопротивление относительно разомкнутой ветви: R_{ВХ =} R_ЭГ.

Дано: цепь рис 12: E3=110 B, E5=127 B, IK=0.05 A, R1=2.2 Oм, R2=5.1 кOм, R3=3.3 кOм, R4=2.1 кOм, R5=1 кOм.              Определить: ток I5 МЭГ.

3. Искомый ток находится по закону Ома:                                                                                                                                                                                                                                  (3)

Задача 4

Решение

1. Выделим узлы, к которым присоединена ветвь с резистором R₅ (узлы 2 и 5), и зададим положительное направление искомого тока I₅. (схема рис. 12):

 

Рис. 13

2. Относительно выделенных зажимов 2 и 5 цепь представим эквивалентным генератором рис. 13.

 

Рис. 14

3. Определим ЭДС эквивалентного генератора (расчётная схема рис. 14):

Ÿ  ветвь с искомым током размыкаем  и по направлению тока вводим напряжение E_ЭГ = U_XX25;

Ÿ  для контура, в который входит напряжение U_XX25, составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура 1, вошедшие в него токи обозначают индексом «_Х»;

U_XX25 – I_4Х R₄ = E₅;                                                        (11)

Ÿ  для определения токов, вошедших в уравнение (11) преобразуем источник тока в источник ЭДС E_К = I_К R₁ = 110 В, ток I_4Х  определи по второму закону Кирхгофа, составленному для контура 2;

I_4Х (R₁ + R₂ + R₃+ + R₄ ) = E_К + E₃;

I_4Х =  =  = 0.0173 А.

Ÿ  подставив их в уравнение (11), определим:

U_XX25 = Е_ЭГ =E₅+ I_4Х R₄ = 127 + 0.0173 2100 = 163.4 В.

4. Определение сопротивления эквивалентного генератора R_ЭГ (расчётная схема рис. 15):

Рис. 15

Ÿ  в цепи рис 14 исключаем источники, и заменяем их внутренними сопротивлениями  R_E = 0,   R_Ik = ¥, поученная схема приведена на рис. 15;

Ÿ  рассчитаем входное сопротивление цепи относительно зажимов 2 -  5:

R_{ВХ25 =} R_ЭГ =  =  = 1.753 кОм.

5. Искомый ток находится по закону Ома:

I₅ =   =      0.0593 А.

Ответ: I₅ = 59.3 мА.

Задача 5

			Дано: цепь рис 16: E1=25 B, IK=1 A, R1=5 Oм, R2=40 Oм, R3=30 Oм, R4=10 Oм, R5=20 Oм, R6=5 Oм. Определить: ·  показание амперметра МЭГ.

 

Рис. 16

Решение

1. Выделим узлы, к которым присоединена ветвь с резистором R₆ (узлы 2 и 3), и зададим положительное направление искомого тока в амперметре - I₆. (схема рис. 17).

	ð

 

Рис. 17

2. Относительно выделенных зажимов 2 и 3 цепь представим эквивалентным генератором.

 

Рис. 18

3. Определим ЭДС эквивалентного генератора (расчётная схема рис. 18):

Ÿ  ветвь с искомым током размыкаем и по направлению тока вводим напряжение E_ЭГ = U_XX23

Ÿ  для контура, в который входит напряжение U_XX25, составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура 1, вошедшие в него токи обозначают