Порядковые свойства пределов, скалярное произведение векторов. Геометрические свойства скалярного произведения

Билет  №3                                                                                                                                                      1.а)Предел функции в точке. Пусть функция f(x) определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения a. Запись (1)

   обозначает, что для каждого числа ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 <|x - a|< δ, справедливо неравенство |f(x) – A| < ε. Для существования предела функции (1) необходимо и достаточно, чтобы для каждой последовательности xn → a, xn ≠ a (xn є X; n = 1, 2, …), было выполнено равенство.

         Имеют место два замечательных предела:

1),           2)      . Критерий Коши.  Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0  найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что|f(x’) – f(x’’)| < ε,Как только 0<|x’ - a|<δ  и  0<|x’’ - a|<δ, где x’ и x’’ – любые точки из области определения функции f(x). 

Б)Порядковые свойства пределов:Теорема: Если хX: f(x)g(x), при хх0 A=Lim f(x), B=Lim g(x), то AB.   Доказательство(от противного): Пусть A>B => из определения предела следует (берем 0<Е<|A-B|/2): >0: |х-х0|< => |f(x)-A|<E & ”>0: |х-х0|<” => |g(х)-B|<Е.Получили, что 0<=min{;”}: |х-х0|< => |f(x)-A|<|A-B|/2 & |g(х)-B|<|A-B|/2, учитывая что А>В и что (А-Е,А+Е)(В-Е,В+Е)= получаем что для х(х0-, х0+) f(x)>g(x) - противоречие с условием.

Теорема: Если хX: f(x)g(x)h(x) и при хх0 Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim g(x)=А.  Доказательство: Е>0 >0: |х-х0|< => A-E<f(x) & ”>0: |х-х0|<” => h(х)<A+Е. Получили, что 0<=min{;”}: |х-х0|< => A-E<f(x) & h(x)<A+E, так как хX: f(x)g(x)h(x) => A-E<f(x)g(x)h(x)<A+E => A-E<g(x)<A+E.

2.а) Скалярное произведение векторов.Определение 2: Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число (a,b)=|a|·|b|·cosφa,b. Свойства скалярного произведения:                                1). коммутативность: (a,b)=(b,a)                      2). (а,а)=|а|2                                               3). (a,b)=0 <=> a  b           4.)Дистрибутивность: (a1+а2,b)= (a1,b)+ (a2,b)         5. (а, λ·b)= λ·(a,b)  λ  R.                                                                                          Утверждение 1: В декартовом базисе если а={x1,y1,z1}, b={x2,y2,z2}, то (a,b)=x1·x2+y1·y2+z1·z2.

Б) Геометрические свойства скалярного произведения. С помощью скалярного произведения можно находить основные метрические величины: длины отрезков (или, что то же самое, длины векторов) и величины углов (см. разд.В.1).                                                                                1. Длина вектора а находится по формуле: .                                                                    2. Величина  угла между ненулевыми векторами находится по формуле:   Отсюда заключаем, что:        — ненулевые векторы a и  b  перпендикулярны  тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: ;                                                                                        — угол между ненулевыми векторами a и b     острый  тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно;                  — угол между ненулевыми векторами а и b  тупой  тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.                                                                                                                                                  3. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора  a   на ось, задаваемую вектором .                                                                              4. Ортогональная проекция вектора a  на ось, задаваемую вектором b .                                                                                                                       Если ось задается единичным вектором e  , то .                                              Свойства 1 и 2 следуют непосредственно из определения скалярного произведения. Третье и четвертое свойства вытекают из геометрического смысла скалярного произведения (см. (1.8)) и п.1 замечаний 1.4.

Алгебраические свойства скалярного произведении Для любых векторов  и любого действительного числа  :                                                                                                  1.  ;     2. ;                                                 3. ;   4. , причем из равенства  следует, что .    Первое свойство определяет симметричность скалярного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю, четвертое свойство — неотрицательность скалярного квадрата. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство соответствует закону коммутативности умножения чисел, второе — закону дистрибутивности умножения по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является число (скаляр), то такое произведение векторов называется скалярным.                                            Свойства 1 и 4 следуют непосредственно из определения. Докажем, например, аддитивность скалярного произведения по первому множителю (свойство 2):  . Если вектор  — нулевой, то все скалярные произведения равны нулю по определению, т.е. для  имеем верное равенство. Пусть . Учитывая, что проекция суммы векторов равна сумме проекций (см. разд. 1.2.2) (то же относится и к алгебраическим значениям длин ортогональных проекций (см. разд. 1.2.3)), можно записать .    Умножая обе части на , получаем . Учитывая (1.8), последнее равенство равносильно , что и требовалось доказать. Однородность скалярного произведения по первому множителю (свойство 3) доказывается аналогично, используя соответствующее свойство ортогональных проекций векторов