Установочные лекции по высшей математике. Контрольная работа. Испытание, событие, вероятность, страница 2

Рис. 1. Диаграммы Эйлера-Веюи,  демонстрирующие операции над событиями А и В.

Определение. Достоверным называется событие, которое неизбежно про- изойдет независимо от исхода исгбмтания. Событие, которое не может произой-

ти ни при каком исходе испытания называегся невозможным.

Заметим, что достоверное событие всегда является противоположным невозможному событию.

4

Определение. Собьпня А и В называџлся несов.меспшы.ми, если они не МОТУГ произойти одновременно. В противном случае события А и В называјолся сокмесТПНЬИШ .

Примером несовместныхкобытий M01Yr• служить любые противоположные события .

Определение вероятности.

При наблюдении за тем, какие события выпадают в различных испытаниях, мы замечаем, что один события возникают чаще, другие реже. Количественной мерой лих закономерностей служит вероятность.

Классическое определение вероятности. Пусть в некотором испытании возможно п равноправных (булем творить «равновероятных») так называемык элементарных исходов. “ Пусть также т из них являют•я «благоприятными» по отношению к событию А, т.е. это событие возникает при

утих т различных элементарных исходах. Тогда вероятностью события А называет№я отношение числа благоприязных исходов к числу всех исходов:

Статистическое определение вероятности. Пусть некоторое испытание повторяется п раз, при этом событие А происходит в v(n) случаях. Тогда веронпшостью события А называется предел сугношения числа успешных (т.е. такик, в которых событие А произошло) испытаний к числу всех испытаний при п

Эквивалентность этих определений ещё предстоит доказать. Замоим, что классическое определение вероятности позволяет нам найти вероятность в том случае, когда нам точно известны все явления, влияющие на исходы испытапия, в то время как статистическое определение применимо в тех случаях, когда мы имеем возможность сколь угодно долго повторять испытание в неизменных условиях. В дальнейшем мы будет пользоваться, если уто возможно, именно классическим определением. Статистическое же определение приводится для полноты картины и для улучшения понимания самого понятия вероятности, а так же его упоминание является поводом включит, дополнительный вопрос в программу экзамена.

5

Элементы комбинаторики.

Для применения классическод» определения мы должны умегь вычислял, ЧИсло всех элементарных исходов испьггания и число благоприятпых (по отношению к заданному событию) исходов. К счастью, существует наука, которая как раз облегчает вычисления количества  комбинаций, удовлетворяющим некогорым свойствам. Эга наука — комбинаторика.

Удм обязательно понадобятся простейшие сведения из этой пауки, которые мы и предлагаем вашему вниманию.

Основной закон комбинаторики. Пусть нужно произвеслм К действий, причем первое действие можно произвести п, способами, второе — па способами, К-тос — способами. Тогда• все действия в совокупности можно произвести            способами.

Определение. Перестано«кой из п элементов называется набор из п элементов, расположенных в определённом порядке.

ЧиСЛо всех перестановок из п элементов можно вычислить с поМОщЬю осповного закона комбинаторики, Действительно, при упорядочивании п элементон, на первос место мы можем поставить любой из этих п элементов, на второе — тобой из оставшихся (n—l ) элементов и тл. Таким образом, число всех персслановок из п элементов равно

ПРИМЕР 1

Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друт?

Решение

Поскольку шахматные ладьи бьют любую фигуру, находящуюся с ними в одной «строке» или одном «столбце» шахматной доски. ясно, что для того, чтобы 8 ладей не били друг друга, их необходимо разместить в разных столбцах и разных строках. Пусть первая ладья стоит в первом столбце, вторая во втором и т.д. Тогда выбор строк для ладей будет являться перестановкой из восьми элементов. Таким образом искомое число расстановок равно

ПРИМЕР 2

Сколько различных слов можно составить из букв а, Ь, с, (1, если каждую букву использовать ровно один раз?

Решение

Каждое слово будет некоторой перестановкой тгих букв, таким образом число различных слов равно числу перестановок

6

Определение. Размещением (без повлорсний) изл элементов йо т элеменназываслся набор из т элеменлов, выбранных из Данных п элемс•гтов в онределёнлю,м порядке, т.е. два различных гхтзмещения различаются либо состаном. либо (при одинаковом составе) порядком злемешов.

Число всех размещений из п элементов по т обозначается через и равпо —

ПРИМЕР

Сколько различных трехбуквенных слов можно составшъ из птги различa,rx букв, если каждую букву использовать не более однот раза?

Решение

Число таких слов равно

5! 120

                                                  -60.

                                                 2!     2