Корреляционный момент, непрерывные случайные величины, линейная зависимость. Примеры решения задач

где                                     

для дискретных случайных величин Хи У и

, y)dxdy

для непрерывных случайных величин,

Корреляционный момент служит для характеристики связи между случайными величинами. В частности, для независимых случайных величин Х и У корреляционный момент Сху равен нулю.

По определению корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей величин Х и У. Это значит, что величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. Например, если при измерении величин Х и У в сантиметрах получилось С». 2 см2, то при измерении Х и У в миллиметрах получим Сху = 200 мм2. Такая зависимость корреляционного момента от единиц измерения затрудняет сравнение различных систем случайных величин. Чтобы устранить этот недостаток, вводится безразмерная характеристика rry связи между величинами Х и У, называемая коэффициентом корреляции:

Если случайные величины Х и У независимы, то r», = О. Если же случайные величины Хи У связаны точной линейной зависимостью У = ах + Ь, то rxy= l при а>О и Ъ. = — при а •z О. Вообще же справедливо двойное неравенство —1 S rxyS

Свойство независимости двух случайных величин Х и У в общем случае не равносильно их некоррелированности (т.е. равенству rn. = 0). Однако для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины это так.

ПРИМЕР 2

Закон распределения системы двух дискретных случайных величин (Х, Л задан следующей таблицей

Найти:

) законы распределения случайных величин Х и У;

2)  условный закон распределения случайной величины Х при условии, что У = 1;

3)  математические ожидания ИХ), Ц У) и центр рассеивания;

4)  дисперсии D(X) и ДУЭ;

5)  корреляционный момент Сду и коэффициент корреляции Ъ.

Решение

1.  Сложив вероятности по строкам, получаем вероятности возможных значений случайной величины Х: = 0,4, p(l) = 0,2, р(4) = 0,4. Следовательно, закон распределения величины Х имеет следующий вид

Проверка: 0,4 +  1.

Сложив вероятности по столбцам, получаем вероятности возможных значений случайной величины У: = 0,1, p(l) = 0,3, АЗ) = 0,6. Напишем закон распределения величины У

		0,3	0,6

Проверка: (),l + 0,3 + 0,6 =

2.  Найдем условные вероятности для случайной величины Х при условии, что У = У-2 = 1: p(-l f 1) = —Р12

р(Ј'2)

Так как распределения (Х 1 У = 1) имеет следующую таблицу

15

З. Исходя из определения, вычисляем математические ожидания:

5. Составим таблицу системы чентривжанных случайных величин

х, У , где У=У-т = У -1,9

-2,4	о	од	0,3
2,6	о	0,2	0,2

Вычислим корреляционный момент:

• (-3,9) • 0-2,4 • (-0,9) •

ПРИМЕР З

Система двух непрерывных случайных величин (Х, У) имеет равномерное распределение в области D = «х, у) — S х S 3, О S у S х + l} .

Найти:

) плотность распределения;

2)  вероятность Ч Х, У) с попадания в область

3)  плотностиЛ(х) и Ку) распределения случайных величин Х и У, а также условные плотности и y(ylx);

4)  функции              и F20) распределения случайных величин Х и У;

5)  математические ожидания М(Х), и центр рассеивания;

6)  дисперсии           и Ц У);

7)  корреляционный момент Сл. и коэффициент корреляции

16

Решение

1. По условию функция плотности имеет вид а, если —lSxS3 и 0SySx+l, О, если (х, у) Е Д

Для нахождения параметра а воспользуемся соотношением f(x, y)dy.dy = , где обл5сть интегрирования D изображена на рис. 7.

2 О -2 2 4

4 з 2 о -2

рис. 7

Рис. 8

Область D ограничена слева и справа прямыми х = —1 и х = 3, а снизу и сверху — прямыми О и У2(х) = х + 1. Переходя к повторному интегралу, имеем:

3

fady= гаур^Х+1 Д = fa(x + l)dx =

=8а. Так как 8а = 1, ТО а з— и функция ПлОтнОсТи 8

имеет вид

—, если

О, если (х,у) Е).

17

2.  Изобразим область G, которая представляет собой круг радиуса 2 с центром в точке (2, О) (см. рис. 8). Так как функция Ах, у) равна нулю вне

3.  Найдем плотностиЛ(х) илу):

поэтому

8

                                                                                         18                                                                                                            

Следовательно,

Для О S у S 4 аналогично получаем

—(8у-у2

Таким образом,

19

8  5 4 4

Тогда су = М(ХУ)- М(Х). м(у)

3 3 3 9 Найдем коэффициент корреляции:

точка 1— ,                                                З. ВЫБОРКА. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

ПОЛИГОН И ГИСТОГРАММА.

ВЫБОРОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Задачей математической статистики является создание методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов. Более конкретно задача состоит в следующем.

Предположим, что проведено п независимых повторений эксперимента со случайной величиной Х. Допустим, что в результате получены п значений Щ, Х2, ..., Хп. Упорядоченный набор (Щ, Ха, ..., этих значений называется выборочной совокупностью, или выборкой объема п. При этом говорящ, уто значения берутся из генеральной совокупности, »торая, представляд•г Кб€ой совокупность всех объектов, из которых производится выборка.

Набор значений Щ, Ха, ..., может рассматриваться как система п независимых случайных величин