Коэффициент передачи цепи, её АЧХ и ФЧХ. Импульсная и переходная характеристики цепи

1.  Задание на расчёт

С

Дана RC – цепь 

R

R=1 кОм   С=1 мкФ

 

 Е                                                                         Е

τ                                  t                                       Т/2       Т                   t

1.  Рассчитать следующие характеристики цепи : АЧХ , ФЧХ , импульсную характеристику , переходную характеристику , построить соответствующие графики.

2.  Разложение в ряд Фурье для периодического сигнала. Просуммировать на периоде первые 5 членов этого ряда , построить соответствующий график.

3.  Для непериодического сигнала найти выражение спектральной плотности , АЧХ и ФЧХ , соответствующие графики.

4.  Найти отклик цепи на периодический сигнал. Записать выражение  ряда Фурье для сигнала на выходе цепи , и просуммировать первые 5 членов этого ряда, соответствующий график.

5.  Отклик цепи на непериодический сигнал.

2.  Коэффициент передачи цепи, её АЧХ и ФЧХ

R_вх = R+1/jωC                 R_вых  = R

K(jω)= R_вых /R_вх  =     , или , представив в экспоненциальной форме , получим :

K(jω)=

Подставив конкретные значения , получим :

=RC=

K(jω)=   ; в экспоненциальной  форме    K(jω)=

Где АЧХ цепи   , ФЧХ цепи :

 

 

 

 

3.  Импульсная и переходная характеристики цепи

Импульсная характеристика цепи – это её отклик на дельта функцию , вычисляется по формуле:

  , этот интеграл будем вычислять с помощью обратного преобразования Лапласса :

, подставив данные получим :

. Как видим , в выражении присутствует дельта функция- .

Переходная характеристика цепи  вычисляется по формуле :

 . Вычисляем с помощью обратного преобразования Лапласса :

 , и ,подставив конкретные значения, получим:

 .

4.  Разложение периодического сигнала в ряд Фурье

Аналитически сигнал можно представить в виде :

Найдём коэффициенты ряда Фурье :

 , т.к.

Аналогично для  :

Таким образом :           

Вычислим первые 5 членов ряда Фурье :

Сигнал с помощью ряда Фурье можно представить так :

Или же

Где:

,

 ==,

Таким образом сигнал можно представить в виде :

Вычислим первые  5  членов второго ряда :

(значения даны в градусах)

5.  АЧХ и ФЧХ непериодического сигнала

Аналитически сигнал можно представить как :

Спектральную плотность вычислим по формуле :

В нашем случае :

Подставив данные получим :

АЧХ сигнала :

ФЧХ сигнала :

6.Отклик цепи на периодический сигнал

Выходной сигнал будет описываться следующим рядом :

Где  - это значение АЧХ цепи на данной частоте , а  – значение ФЧХ цепи на данной частоте.

Тогда сигнал на выходе можно будет описать так :

 :

гармоника	частота	АЧХ		*	ФЧХ,°	,°	+,°
	1570	0.843	0.377E	0.318E	32.49	-57.52	-25.03
	3140	0.953	0.159E	0.152E	17.66	-90.00	-72.34
	4710	0.978	0.107E	0.104E	11.99	-83.94	-71.95
	6280	0.988	0.078E	0.077E	9.05	-90.00	-80.95
	7854	0.992	0.064E	0.063E	7.26	-82.74	-75.48

График построен для количества элементов n=500

6.  Отклик цепи на непериодический сигнал

Представим наш сигнал как сумму двух других. Сигнал   , изображение этой функции по Лаплассу будет   , его легко найти , т.к. преобразование Лапласса линейное , а изоброжения постоянной и прямой зависимости нам известны . Сигнал -E ,при чём он должен начинаться в точке t= . изображение такой функции по Лаплассу будет изображение обычной линейной зависимости , умноженное на экспоненту , где   это время на которое сигнал сдвинут во времени. Т.о.   .

Как видим из графиков , до момента времени  существует только первая функция,  описывая наш входной сигнал , а с момента  появляется вторая функция , которая является равной по модулю и противоположной по знаку , относительно первой…таким образом , если сложить эти две функции , получится аналитическое выражение , описывающее наш сигнал:

S(p)= .

Реакцию цепи найдём с помощью обратного преобразования Лапласса от произведения спектральной плотности сигнала на коэффицент передачи цепи :

Как известно ,    - это единичный сигнал существующий лишь в точке t=

А    - это смещённая во времени экспонента , . Таким образом суммарный выходной сигнал будет иметь вид :