импульса, наоборот, расстояние ме^кду нулями функции Si((u) увеличивается (расширение спектр^), а значение Si (0) уменьшается.' В пределе при Тд -> О (Л = const) точки (Oi = ±
Рис. 2.15. Модуль (о) и аргумент (б) спектральной плотности прямоугольного импульса.
-M -in ~Л И IT Zn 5л W^Z 1 •••^111 ^
Рис. 2.16. Совмещение начала отсчета времени с фронтом прямоугольного импульса.
^ п aw-Wt/i—"-,
±2n/Ti„ соответствующие двум первым нулям функции Si ((о), удаляются в бесконечность и спектральная плотность, бесконечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот от —оо до 00.
На рис. 2.15 показаны отдельно графики модуля Si ((о), отнесенного к величине Si (0), и аргумента 9 ((о) спектральной плотности. Первый из этих графиков можно рассматривать как амплитудную, а второй — как фазовую характеристику спектра прямоугольного импульса. Каждая перемена знака S, ((о) учитывается на рис. 2.15, б приращением фазы на л.
При отсчете времени не от середины импульса (как на рис. 2.13), а от фронта (рис. 2.16) фазовая характеристика спектра импульса 51
должна быть дополнена слагаемым ютя/2, учитывающим сдвиг импульса на время Тц/2 (в сторону запаздывания). Результирующая фазовая характеристика принимает при этом вид, показанный на рис. 2.15, б штриховой линией.
Рассмотрим вопрос о распределении энергии в спектре импульса. В соответствии с§ 2.8 и формулой (2.68') спектральная плотность энергии прямоугольного импульса
^((o)=^(0)^^-^(0)[sinc (-^)]'. (2.71)
С помощью равенства Парсеваля нетрудно вычислить энергию в заданной полосе частот.
Пусть нас интересует полоса Доз от —c)i до tOi. Тогда по формуле (2.66) находим энергию в указанной полосе
.^J- ^и^л^ ^ f -^^=
п J я J (соти/2) о о
^ у»
^., 1 2 С sWx ^ ^ ^ ^ "i ^ ) —^ ^n—— \ 7i"""•—" ^'и^^{ <•, ;' Я T„ J ^ \ i I
где А"т:а == .9 есть полная энергия импульса, а функция
<»iV^
^(^JJL\— ^ Г "'"^
^l~T"7T J ^
о
^
(2.72)
определяет относительную долю энергии в полосе частот от 0 до fi)i. Интеграл, входящий в выражение (2.72), с помощью интегрирования по частям может быть приведен к виду
«^„/2
"lV^ ">1"И^
2 sin х cos x
dx:
^T„/2
sin» (о)] Тн/2) Г .^^^-__ -2si^((OiTH/2) , ^^ ^ ^ т, Ти/2 J x mi-Ca
Здесь sly^^-^^-dx—интегральный синус.
о Таким образом, т) 52
"1 "я \— 2 1,, ^ , 2 )~n^^
SI a», T,
2 si^ (miTn/2)
(2.73)
'».
График функции т) ((й^н^) изображен на рис. 2.17. Из этого рисунка видно, что при ^OjT„/2 ^ я, т. е. при^Тд == 1^ в полосе частот от 0 до ^== 1/Ти сосредоточено около 90% .всей энергий импульса. На основе формулы (2.73) можно выбирать полосу пропускания цепи (фильтра) по заданному коэффициенту использования энергии импульса. Следует, однако, подчеркнуть, что в тех
^ f f -^ / '- /f. Ч ' /G
^Г\а—7 -ya'O^/ff • ^ ^
a) ft
Рис. 2,17. Доля энергии прямоугольного импульса в полосе частот 0, toi.
Рис. 2.18 Колоколообразный (гауссов) импульс (а) и его спектральная плотность (б).
случаях, когда требуется получить на выходе фильтра форму импульса, близкую к прямоугольной, величина произведения ^Тд должна быть гораздо больше единицы.
2. Колоколообразный (гауссов) импульс (рис. 2.18,а)
Представленный на рис. 2.18, а импульс определяется выражением
s^f)==Ae~"^"\ —оо<^<оо. (2.74)
Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального (гауссова) закона распределения вероятностей, называется также «гауссовым импульсом». Постоянная а имеет смысл половины длительности импульса, определяемой на уровне е-'^ == 1/е'^ =» == 0,606 от амплитуды импульса. Таким образом, полная длительность импульса Тц равна 2а. Применяя выражение (2.48), получаем
5,(о))=Л ^е-^
dt.
(2.75)
Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы
—{•—-- + 1Ш( ^ 2а"
)--[(^^^
-к^
-^
где величина d определяется из условия
i<i)t=2{t/'V2a)d, откуда d=imalV2. (2.76)
Таким образом, выражение (2.75) можно привести к виду
, d' ^ -(tlVla+d)' , S2((o)==Ae е dt,
—ОС
Переходя к новой переменной х = (t/~^2a) Ч- d, получаем ж
S.i{M)==Ae"'V2a {e~"'dx.
—от
Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен Ул" окончательно получаем
(2.77)
где b = 1/а, В=У2паА.
^График этой функции изображен на рис. 2.18, б. : Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссов импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить t на (о. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне е~"' от максимального значения, равна 2Ь == 2/а = 2 • 2/Тд = = 4/т„, а коэффициент В = У2яаЛ. Гауссову спектру S.i((u)==Be-<""'"' (2.78)
соответствует гауссов импульс s^t)=Ae-"'t°/'
вь —ь^<^/'2 е ,
'У2я
(2.79)
с длительностью 2/й и амплитудой А == ВЫ~У2л.
Очевидно, что чем меньше длительность импульса Ти, тем шире
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.