Коэффициент передачи , АЧХ и ФЧХ цепи. Разложение периодического сигнала в ряд Фурье

Содержание

1. Задание на расчёт……………………………………………………….3

2. Коэффициент передачи , АЧХ и ФЧХ цепи…………………………..4

3. Импульсная и переходная характеристики цепи……………………..5   

4. Разложение периодического сигнала в ряд Фурье……………………6

5. Отклик цепи на периодический сигнал ……………………………….9

6. АЧХ и ФЧХ непериодического сигнала ………………………………10

7. Отклик цепи на непериодический сигнал…………………………….12

1. Задание

 

                                                                                                                

 

Периодический сигнал                             Непериодический сигнал

 

τ

1)  Рассчитать и построить графики следующих характеристик цепи:

амплитудно-частотная характеристика;

фазо-частотная характеристика;

импульсная характеристика;

переходная характеристика.

2) Для периодического сигнала найти разложение в ряд Фурье. Просуммировать на периоде первые пять членов этого ряда. Построить соответствующие графики.

3) Для непериодического сигнала найти выражение для спектральной плотности. Построить АЧХ и ФЧХ.

4) Найти отклик цепи на периодический сигнал, для этого записать выражение  ряда Фурье для сигнала на выходе цепи и просуммировать первые пять членов. Построить соответствующие графики.

5) Найти отклик цепи на непериодический сигнал. Построить соответствующие графики.

                            2. Коэффициент передачи цепи, её АЧХ и ФЧХ

 ;  ; .

Учитывая, что :

АЧХ:

ФЧХ:

 .

Графики:

АЧХ:

                                                                     ФЧХ:

3.Импульсная и переходная характеристики цепи

Импульсная характеристика цепи вычисляется по формуле:

, где

Переходная характеристика цепи  вычисляется по формуле:

4. Разложение периодического сигнала в ряд Фурье

Аналитически сигнал можно представить в виде

                       

Любой периодический сигнал можно разложить в ряд Фурье:

Вычислим коэффициенты ряда:

,

так как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю.

Последний интеграл найдём отдельно:

Тогда :

Такой же вывод можно было сделать из условия  нечётности периодического сигнала.

Последний интеграл найдём отдельно:

Тогда:

Вычислим первые пять членов ряда:

                                                

                                   ;  - ;  ; -  ;  ; - .

                               Отклик цепи на периодический сигнал

Для вычисления отклика цепи на периодический сигнал, необходимо амплитуду каждой гармоники входного сигнала домножить на значение АЧХ на соответствующей частоте, а к фазе гармоник добавить значение ФЧХ на этой частоте. И просуммировать гармоники.

 ;                                                                 

.

.

 

 

 

=* K(nω) ; = + φ(nω)

Гармоника	кГц					,рад	,рад
1	3,14	-	0,951	-0,61E	0	0,318	0,318
2	6,28		0,987	0,31E	0	0,159	0,159
3	9,42	-	0,995	-0,21E	0	0,106	0,106
4	12,56		0,997	0,15E	0	0,079	0,079
5	15,7	-	0,998	-0,13E	0	0,063	0,063

 

5. Анализ непериодического сигнала

Аналитически сигнал можно представить как :

S(t)=E ; 0≤ t≤ τ

Спектральная плотность вычисляется по формуле:

S(jω)= dt = [ sin (ωτ) +  ] + j [ cos(ωτ) –

                              АЧХ:

                               ФЧХ:

Отклик цепи на непериодический сигнал                                          

Отклик цепи на непериодический сигнал можно вычислить с помощью обратного преобразования Лапласа от произведения спектральной плотности сигнала на коэффициент передачи цепи.

                

Представим наш сигнал как сумму:  

(p) = ; ;

S(p) =  =  (