Определение оптимальных параметров и экстремумов целевой функции методами Бокса-Уилсона и случайного поиска, страница 3

На втором шаге выяснилось, что максимальное значение целевой функции больше значения на первом шаге (-2576,85 и -2577,42  соответственно), а величины коэффициентов регрессии приблизились к нулю. Поэтому необходимо прекратить дальнейшее движение к экстремуму. И так, глобальный экстремум (максимум) для данной целевой функции равен y=-2576,85, при координатах x11= -606,759, x21= -498,5.

Метод случайного поиска.

Исходные данные:

1. начальная точка  

2. рабочий шаг .

Таблица случайных чисел имеет вид:

Таблица 3.

Таблица случайных чисел

Порядок выполнения работы.

Выбирается начальная точка у₀.

Проводиться опыт в пробной точке, отстоящей от нулевой на расстояние r. На окружности точка, в которой проводится пробный опыт, определяется случайным образом.

Пусть r=10.

Берется таблица случайных чисел, выбираются точки со значением, меньшим 10: 28; 17; 8; 22; 6.

Число 8 принимаем в качестве размера вектора x, его направление определяем в зависимости от числа, которое стоит перед числом 8. если предыдущее число четное, то направление вектора положительное, если нечетное – отрицательное.

; .

Знак вектора x₂ определяется от последующего числа: если последующее число четное, то знак x₂ принимается отрицательным, если нечетное – положительным.

Затем определяется значение функции в точке у₁ и сравнивается со значением у₀. если у₀>у₁, то движение будет осуществляться в направлении, противоположном у₁ на рабочий шаг r, который больше, чем r (r>r).

В у₂ снова находится значение случайной точки у₃, r остается тем же.

Значения целевой функции у от значений векторов  и  представлены в таблице 4.

Таблице 4.

Значения целевой функции при различных величинах векторов

По таблице определили максимум целевой функции у=-2580,73 при значениях координат x1=-516, x2=-420,841.

Вывод:   В ходе выполнения работы были найдены экстремумы целевой функции (максимумы)  методом Бокса–Уилсона и методом случайного поиска. Для первого метода y=-2576,85, при координатах x11=-606,759, x21=-498,5; а для второго          у=-2580,73 при значениях координат x1=-516, x2=-420,841. В шестой работе были найдены экстремумы этой же функции методом дифференцирования y=-2595, при координатах x11=-560, x21=-460 и методом Гаусса-Зейделя    y=-2575, при координатах x11=-610, x21=-500. Получилось, что наиболее точным является метод Гаусса-Зейделя в силу его высокой помехозащищённости в смысле выбора рабочей точки. Вторым по точности является метод Бокса-Уилсона, потому что у него тоже высокая помехозащищенность (составляющая градиента оценивается по четырём точкам), но точность нахождения экстремума сильно зависит от интервала варьирования и рабочего шага. Третий по точности – метод случайного поиска, четвёртый – метод дифференцирования. Следует так же отметить, что наиболее точным получился метод Гаусса-Зейделя случайно, из-за вида целевой функции. Так как эффективность каждого из рассмотренных методов зависит от конкретных условий, в частности от формы поверхности отклика: плавности (узкие гребни, овраги и т.д.). Точность нахождения экстремума зависит от правильного подбора метода поиска, наиболее подходящего для конкретных условий (форма поверхности отклика, уровень шумов и др.).