Существование экстремума акустооптического взаимодействия

Условием существования экстремума акустооптического взаимодействия будем считать условие δp_э = 0 — равенство нулю вариации эффективной акустоопти-ческой постоянной:

                                                        (2.1)

Входящие в это уравнение векторные функции не являются произвольными. На их выбор наложены ограничения, определяемые уравнениями связи:

;                 ;

;                               ;                                             (2.2)

, где = ±1,0. Первые два уравнения связи (2.2) — это уравнения электро- и эластодинамики соответственно. Далее в (2.2) включены условия ортогональности и нормировки соответствующих собственных триплетов. Последнее уравнение определяет устанавливаемую соответствующим типом дифракции взаимную ориентацию волновых нормалей. Например, при колли-неарном взаимодействии света и звука , поэтому cos θ= 1. В случае анизотропной или изотропной дифракции в качестве угла θ может фигурировать π/2 − θ_B .

Входящие в (2.1) векторы и  должны относиться к разным волнам: падающей и дифрагировавшей соответственно. В связи с этим первое из уравнений связи (2.2) следует разделить на два уравнения с различными волновыми нормалями d₀, отвечающими падающей и дифрагировавшей волнам. Однако в такой более строгой формулировке задача окажется еще более сложной. В то же время учет различия в направлениях падающего и дифрагированного света не ведет к принципиально важным изменениям p_э и потому не оправдан.

Поэтому в дальнейшем считаем векторы  и , относящиеся к одному и тому же собственному триплету, опирающемуся на волновую нормаль d₀, в качестве которой выберем нормаль падающего луча. Выбор угла θ также ограничим простыми условиями. Угол θ = 0 — для коллинеарного взаимодействия и θ = π/2 — для дифракционного рассеяния, при этом α = β в (2.1) отвечает изотропной дифракции, α  ≠ β — анизотропной.

Не все из принятых выше ограничений являются обязательными. Мы их приняли с целью упростить форму исходных связей, чтобы сделать более четким и ясным их последующий анализ. Можно заметить, что все параметры, от учета которых мы выше отказались, относительно слабо влияют на конечный результат. Располагая решениями сформулированной задачи, мы сохраняем возможность впоследствии внести необходимую уточняющую корректировку.

Уравнения (2.1), (2.2) образуют полную систему уравнений, позволяющих оптимизировать акустооптическое взаимодействие по величине его эффективной постоянной. С позиций практической акустооптики подобную оптимизацию следовало бы вести относительно другого параметра — постоянной M₂ акустооптического качества, поскольку в этом случае обеспечивается экстремум по эффективности использования мощности упругой волны. Сохраняя за собой возможность вернуться к этому вопросу ниже, заметим, что выбор более простого параметра p_э позволяет вести расчет характеристик взаимодействия, опираясь на наиболее простые выражения.

Соотношения (2.1), (2.2) связывают в общей сложности пять векторных функций, причем уравнения (2.1) и второе из уравнений (2.2) являются уравнениями четвертого порядка. Если с помощью известных методов перейти от уравнений (2.1), (2.2) к соответствующим линейным соотношениям, общее число линейных уравнений связи превысит 50! Решение этих уравнений и последующая их интерпретация оказываются серьезной задачей, практически трудной даже для современных ЭВМ. Этим и объясняется отсутствие попыток решения задачи в общей постановке.

Тем не менее, если не искать все возможные решения и ограничиться только теми, которые связаны с симметрией среды, можно настолько упростить исходную систему уравнений, что ее решение окажется не только легко выполнимым на ЭВМ, но и доступным аналитическим средствам.

Внутренняя симметрия материальных тензоров  в индексах Яна [[V²]²] для p и c и [V²] для χ такова, что все они имеют центр симметрии. Последнее означает, что эти тензоры будут иметь общую подгруппу 2/m, если в группе симметрии соответствующего кристалла есть ось четного порядка или плоскость симметрии. Если векторы входящие в (2.1), ориентированы вдоль оси 2 или плоскости симметрии m подгруппы 2/m так, что с каждым из этих направлений связано четное число векторов, то плоскость симметрии войдет в группу симметрии p_э. Перебирая возможные варианты, можно показать, что эта же плоскость симметрии сохранится и во всех уравнениях связи (2.2).

Если вектор  ортогонален плоскости симметрии, а векторы  лежат в этой плоскости, то свертка тензора p с этими векторами дает нуль при нечетном числе векторов , т. к. свертка инвариантна относительно смены знака .

.                                             (2.3)

Внутренняя симметрия тензора p допускает произвольную перестановку векторов в (2.3). Если  — базис некоторой системы координат, в которой ось  нормальна плоскости симметрии, а , то из (2.3) сразу же следует равенство нулю всех координат p_ijklтензора p, в которых индекс «3» встречается нечетное число раз.

Вернемся к (2.1), заметив, что с помощью векторного дифференциального оператора  произвольная вариация некоторой скалярной функции p_э может быть представлена следующим образом: δp_э =, где  - произвольный вектор. Поэтому составляющая вариации (2.1) вдоль оси 2 подгруппы 2/m равна: