Опр.
Движением называется такое
преобразование плоскости, которое не меняет расстояний: .
(Опр.: Биективное отображение множества на себя наз-ся проеобразованием этого
множества. Опр.: Отображение называется биективным, если у каждого образа есть
прообраз и при том только один). СВ-ВА:
При
движении окружность
в окружность того же радиуса.
Пусть
- произвольная окружность с центром О.
Пусть движение принадлежащее к группе движений () – произвольное. Обозначим
. Пусть
дана окружность
. Покажем, что движение D
окружность
. Покажем, что множество
. Пусть
. 1)
Пусть
-произвольная, пусть движение D:
. Т.к. D – движение, то
. Т.о.
, значит
любfz точка N принадлежит окружности w:
. 2)Пусть точка
(эль-окружность)
– произвольная. Т.к. D – движение, то
-движение. Пусть
домножим на D слева
обе части этого равенства:
. Т.о.
. Из (*) и (**)
.
Ч.т.д.
При движении отрезок
в отрезок, луч – в луч, прямая в прямую.
Док-во: Пусть . Покажем, что
,
(-образ отрезка АВ). Пусть точка М лежит
внутри отрезка АВ (
), и пусть точка М-произвольная.
Пусть движение
, D – движение,
поэтому
. Т.к. М лежит внутри отрезка АВ (
), то АМ+МВ=АВ
Пусть
, т.е.
. Пусть
, т.к.
-движение,
то АМ+МВ=АВ
. Т.о.
Для луча и прямой док-ва аналогичны.
Луч
Прямая
Придвижении пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся прямые, а
параллельные прямые – в параллельные прямые.
Пусть прямые а и в – параллельные, пусть
движение
Док-во методом от противного, прямые
не параллельны,
, тогда
у k два прообраза.
При
движении сохраняются углы между прямыми. Дано:
Т.д.
. Док-во:
Пусть движение
. Т.о.
Ч.т.д.
Т Теорема: Множество всех движений плоскости образует
Группу.
Док-во: 1. Покажем, что для любых движений принадлежащих
группе движений, композиция
. Пусть А,В –
произвольные точки плоскости.
Т.е.
Т.к. -движение.
2.
Пусть движение D из
группы движений – произвольное(), покажем, что
-движение. Пусть
-
произвольные точки. Пусть движение
. Т.к. D –
движение, то
.Ч.т.д.
Теорема
о задании движения: Каковы бы ни были
два равных треугольника , существует
единственное движение, переводящее
. Док-во: Существование.
Рассм. осевую симметрию, переводящую
: (
p – серединный перпендикуляр
), при этом
. q –
серединный перпендикуляр
, т.к.
, то
.
.
Получится:
r – серединный перпенд-р
Докажем
единственность: От противного, движение ,
,
. Но при
этом существует такая (•) М, что
Т.к.
- движения, то
лежит
на серединном перпендикуляре отрезка . Аналогично точки
лежат
на серединном перпендикуляре отрезка
; получаем ?! с тем, что
- треугольник. Ч.т.д.
Теорема Шаля: Всякое движение первого рода есть либо перенос, либо поворот; всякое движение второго рода есть либо скользящая, либо осевая симметрия.
Определения: Осевой
симм-ей относ-нопрямой р
наз-ся преобразование плоскости, оставляющее (•)-и прямой р неподвижными, а
произвольной (•)-е ставящей в соответствие такую
(•)
, что р – серединный
отрезка
.Центр-ой
сим-ей с центром О наз-ся преобразование пл-сти, оставляющее (•) О
на месте, а любой другой (•)-е А, ставящее в соответствие такую (•)
, что О – середина отрезка
. Парал-ным переносом на вектор
наз-ся преобразование пл-сти, ставящее в
соответствие произвольной (•) А такую (•)-у
Поворотом
на ориентированный угол
относительно (•) О
наз-ся преобр-ние пл-сти, ставящее в соответствие произвольной (•) А такую (•)
, что выполняются два условия:
Скользящей симм-ей наз-ся композиция
осевой симм-ии и I I-ного переноса на ненулевой вектор
I I-ный оси симметрии.
С движением уч/ся знакомятся в конце 9 кл.: дается понятие отображения плоскости на себя, осевая симметрия, понятие движения, движения плоскости, центральной симметрий, параллельный перенос, поворот.
В 11 кл., изучается в теме «метод координат в пространстве». Дается понятие центр, осевая, зеркальная симметрия и параллельный перенос. На базовом уровне эта тема практически не изучается.В классах с УИМ тема «Движение» может быть также изучена в главе «М-д корд-т». На изучение темы следует отвести 6-10 ч. При изучении преобразования в геом-ии не рассм-ся пр-сс во времени, а ограничиваются сопоставлением исходной фигуры и фигуры, полученной в рез-те преобразования. Уч-ся уже встречались с отображением фигур на фигуру, знакомы с понятием «преобразование пл-сти», т.е. отображение пл-сти на себя.
Задача: Пусть движение f:. Выяснить явл-ся ли D: а) обратимым,
б) имеет ли неподвижные (•)-и. Реш-ие: а) f:
,
,
движение обратимо. б) О(0,0,0) –
неподвижная (•)-а.
Эстетика – наука о чувственном познании, создающем прекрасное
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.