Определенное движение. Преобразование плоскости

Опр. Движением называется такое преобразование плоскости, которое не меняет расстояний: .  (Опр.: Биективное отображение множества на себя наз-ся проеобразованием этого множества. Опр.: Отображение называется биективным, если у каждого образа есть прообраз и при том только один).  СВ-ВА: При движении окружность в окружность того же радиуса.

                                             Пусть  - произвольная окружность с центром О.

Пусть движение принадлежащее к группе  движений () – произвольное. Обозначим

. Пусть дана окружность . Покажем, что движение D окружность . Покажем, что множество . Пусть .  1) Пусть -произвольная, пусть движение D:. Т.к. D – движение, то . Т.о. , значит любfz точка N принадлежит окружности w: . 2)Пусть точка (эль-окружность) – произвольная. Т.к. D – движение, то -движение. Пусть     домножим на D слева обе части этого равенства: . Т.о. . Из (*) и (**). Ч.т.д.  При движении отрезок в отрезок, луч – в луч, прямая в прямую.  

Док-во: Пусть . Покажем, что , 

(-образ отрезка АВ). Пусть точка М лежит внутри отрезка АВ (), и пусть точка М-произвольная. Пусть движение , D – движение, поэтому . Т.к. М лежит внутри отрезка АВ (), то АМ+МВ=АВ Пусть , т.е. . Пусть , т.к. -движение, то АМ+МВ=АВ. Т.о.

Для луча и прямой док-ва аналогичны.

Луч

Прямая

Придвижении пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся прямые, а параллельные прямые – в параллельные прямые.

 Пусть прямые а и в – параллельные, пусть движение Док-во методом от противного, прямые не параллельны, , тогда у k два прообраза.  При движении сохраняются углы между прямыми.  Дано: Т.д. . Док-во:

                                                          Пусть движение . Т.о.   

Ч.т.д.

                                                  Т   Теорема: Множество всех движений плоскости образует

Группу. Док-во: 1. Покажем, что для любых движений  принадлежащих группе движений, композиция . Пусть А,В – произвольные точки плоскости.

                                                              Т.е.

    Т.к.     -движение.

2. Пусть движение D из группы движений – произвольное(), покажем, что -движение. Пусть  - произвольные точки. Пусть движение . Т.к. D – движение, то .Ч.т.д.

Теорема о задании движения: Каковы бы ни были два равных треугольника , существует единственное движение, переводящее  .  Док-во: Существование.  Рассм. осевую симметрию, переводящую : (p – серединный перпендикуляр ), при этом  . q – серединный перпендикуляр , т.к. , то .         

                                                                .

Получится:

r – серединный перпенд-р

Докажем единственность: От противного, движение , , . Но при этом существует такая (•) М, что

Т.к.  - движения, то  лежит        

                                               на серединном перпендикуляре отрезка . Аналогично точки  лежат на серединном перпендикуляре отрезка

; получаем ?! с тем, что  - треугольник. Ч.т.д.

Теорема Шаля: Всякое движение первого рода есть либо перенос, либо поворот; всякое движение второго рода есть либо скользящая, либо осевая симметрия.

Определения: Осевой симм-ей относ-нопрямой р наз-ся преобразование плоскости, оставляющее (•)-и прямой р неподвижными, а произвольной (•)-е ставящей в соответствие такую  (•), что р – серединный отрезка .Центр-ой сим-ей с центром О наз-ся преобразование пл-сти, оставляющее (•) О на месте, а любой другой  (•)-е А, ставящее в соответствие такую (•), что О – середина отрезка. Парал-ным переносом на вектор  наз-ся преобразование пл-сти, ставящее в соответствие произвольной (•) А такую (•)-у  Поворотом на ориентированный угол  относительно (•) О наз-ся преобр-ние пл-сти, ставящее в соответствие произвольной (•) А такую  (•), что выполняются два условия: Скользящей симм-ей наз-ся композиция осевой симм-ии и I I-ного переноса на ненулевой вектор I I-ный оси симметрии.

С движением уч/ся знакомятся  в конце 9 кл.: дается понятие отображения плоскости на себя, осевая симметрия, понятие движения, движения плоскости, центральной симметрий, параллельный перенос, поворот.

В 11 кл., изучается в теме «метод координат в пространстве». Дается понятие центр, осевая, зеркальная симметрия и параллельный  перенос. На базовом уровне эта тема практически не изучается.В классах с УИМ тема «Движение» может быть также изучена в главе «М-д корд-т». На изучение темы следует отвести 6-10 ч. При изучении преобразования в геом-ии не рассм-ся пр-сс во времени, а ограничиваются сопоставлением исходной фигуры и фигуры, полученной в рез-те преобразования. Уч-ся уже встречались с отображением фигур на фигуру, знакомы с понятием «преобразование пл-сти», т.е. отображение пл-сти на себя.

Задача: Пусть движение f:. Выяснить явл-ся ли D: а) обратимым, б) имеет ли неподвижные (•)-и. Реш-ие: а)   f: , , движение обратимо. б) О(0,0,0) – неподвижная (•)-а.

Эстетика – наука о чувственном познании, создающем прекрасное