Кольцевые камеры сгорания. Радиальные колебания фронта пламени

Рассмотрим радиальные колебания аксиально симметричного фронта пламени, при радиальном истечении топлива из центра.

1. Уравнения, описывающие установившиеся течения смеси и продуктов, являются уравнениями акустики – уже линейные:

 в обл. 1 – смесь

 в обл. 2 – продукты

Получены линеаризацией уравнений газовой динамики на покой.

Решения:

Граничные условия на стационарном радиусе горения (там и располагается фронт пламени):

Для газов берётся модель идеальных газов  с постоянными теплоёмкостями, тогда:

Разные показатели политропы перед и за скачком. Энерговыделение смеси можно рассчитать, зная данные о скорости горения в зависимости от давления и температуры. Это делается путём добавления к граничным условиям условия Чепмена-Жуге для расчёта скорости фронта (условия касания адиабаты энерговыделения (энергия) и прямой Михельсона (импульс)). Скорость горения должна быть направлена против скорости течения топлива и равна ей по модулю на стационарном радиусе горения - из этого условия и находится стационарный радиус горения.

2. Линеаризация задачи по малым амплитудам:

индексы 1 и 2 – областях «1» и «2», соответственно

Уравнения линеаризовывать не надо!!

Уравнения (время уже отделили):

 в области «1»                                                                                   (1.1)

в области «2»                                                                                   (1.2)

Из этих уравнений получаются уравнения Гельмгольца для областей 1 и 2 на возмущения плотностей:

                                                                                                                     (1.3)

Для возмущения скоростей получаются такие же уравнения.

Граничные условия для возмущённой границы:

Линеаризованные граничные условия:

                                       (1.4)

В линеаризованных граничных условиях, все значения функций сносятся на найденную среднюю линию – радиус стационарного горения.

3 . Анализ корректности задачи

Решение задачи для комплексных амплитуд будет выражаться через функции Ганкеля первого и второго рода:

Для области 2 функция Ганкеля второго рода в решениях отсутствует в силу условия излучения Зоммерфельда. Без ограничения общности можно считать, что , тогда возмущение плотности в области 1 будет действительным: . Между возмущениями плотности и скорости через основные уравнения есть связь, следующая из (1.1) и (1.2):

                                                                                                                       (1.5)

Пусть w -комплексная частота акустических возмущений с положительной мнимой частью (спектр – в верхней полуплоскости комплексной плоскости C).Тогда решение будет расти по времени и затухать по пространству в области 2 согласно асимптотическому поведению функции Ганкеля на бесконечности.  Помножим уравнения (1.3) на комплексно сопряжённые функции и проинтегрируем по всей области колебаний:

                                                                                                 (a)

                                                                                             (b)

Сложим их:

+                                         (c)

Преобразуем полученное выражение (c):

Преобразуем два первых слагаемых в подъинтегральных выражениях по теореме Грина в интегралы по границе, так как на границах у нас есть граничные условия:

Первый интеграл по границе в этом выражении будет равен нули в силу граничного условия на границе R₀: , четвёртый интеграл по границе будет равен нули при стремлении радиуса границы к бесконечности, согласно асимптотическому поведению функций Ганкеля на бесконечности и выбранному положительному знаку мнимой части частоты. Учтя всё это, таким образом, получим:

            (d)

Рассмотрим подробнее интеграл по границе в выражении (d). Из граничных условий (1.4), исключая скорость колебания границы  можно найти связь между возмущениями плотности и скорости через линию скачка горения:

                                                                                                             (e)

где A и B – действительные константы, зависящие от параметров стационарного решения на границе скачка. Производные возмущений плотности связаны соотношениями (1.5):

Итак:

Второе слагаемое в найденном выражении для интеграла по границе является действительным числом ,так как .

Возьмём теперь мнимую часть от выражения (d), учитывая найденное выражение для интеграла по границе:

(f)

Последние интегралы в выражении (d) по области колебаний от квадратов модулей градиентов возмущений в мнимую часть выражения (f) не вошли, так как являются действительными числами.

Таким образом из выражения (f) видно, что существуют отличные от нуля акустические возмущения с собственными частотами с положительной мнимой частью. То есть аксиально симметричный фронт пламени неустойчив по малым радиальным возмущениям фронта