Изменение чисел обусловленности матриц при LU разложении

Задание 2.

Пронаблюдаем изменение чисел обусловленности матриц при LU разложении.

Были выбраны следующие матрицы:

1. A1 – Матрица размера 5x5 с элементами, распределёнными по равномерному закону на отрезке [0,1]

A1 =  4.2811e-001  9.5528e-001  1.5327e-001  6.2237e-001  9.9023e-001

2.0208e-002  7.7398e-001  5.8535e-001  4.4168e-002  5.4645e-001

2.4229e-002  1.6050e-001  9.2991e-001  7.8570e-002  9.4266e-001

4.7605e-001  6.2157e-001  4.6980e-001  4.7116e-001  1.0885e-001

5.2682e-001  7.4742e-001  7.8339e-001  4.2582e-001  1.6796e-001

2. A2 – матрица Гильберта 5x5 – классический пример плохо обусловленной матрицы.

A2 =  1.0000e+000  5.0000e-001  3.3333e-001  2.5000e-001  2.0000e-001

5.0000e-001  3.3333e-001  2.5000e-001  2.0000e-001  1.6667e-001

3.3333e-001  2.5000e-001  2.0000e-001  1.6667e-001  1.4286e-001

2.5000e-001  2.0000e-001  1.6667e-001  1.4286e-001  1.2500e-001

2.0000e-001  1.6667e-001  1.4286e-001  1.2500e-001  1.1111e-001

3. A3 – матрица с элементами a_ij = i+j + rand*1.0e-6 ;

A3 =  2.000000642781634e+000    3.000000553089729e+000    4.000000012008894e+000

3.000000268187746e+000    4.000000880866920e+000    5.000000278789144e+000

4.000000728129859e+000    5.000000856259835e+000    6.000000574129472e+000

5.000000892204986e+000    6.000000599542632e+000    7.000000827920029e+000

6.000000509929135e+000    7.000000482246576e+000    8.000000704574436e+000

5.000000341858421e+000    6.000000408683335e+000

6.000000402026360e+000    7.000000205636495e+000

7.000000538903893e+000    8.000000293393988e+000

8.000000189744535e+000    9.000000256123061e+000

9.000000434691367e+000    1.000000031261078e+001

Непосредственно LU разложение приводить не будем – результирующие матрицы можно легко получить легко, воспользовавшись программой. Приведём лишь основные результаты:

Определители:

Числа обусловленности

Выводы:

• Из приведённых примеров можно заключить, что применение LU разложения позволяет не только решить систему линейных уравнений за полиномиальное время, но и улучшает обусловленность решаемых систем. Для приведённых примеров число обусловленности уменьшилось в два раза.
• Как известно – определитель произведения равен произведению определителей. Поэтому определитель произведения остался неизменным, однако число обусловленности стало лучше, что свидетельствует о том, что критерием надёжность решения должен быть не определитель матрицы системы, а число обусловленности.

Все расчёты производились при помощи программы MATLABv7.0.1.