Одноканальная и многоканальная СМО с ограниченной очередью. Примеры решения задач

- Справится ли касса автовокзала с потоком пассажиров? Если нет, то каково то минимальное число окон, которое необходимо для решения этой проблемы? Требуется: При известном минимальном числе окон m=m_min, необходимом для того, чтобы справиться с потоком пассажиров:

1. Построить граф состояния СМО.

2. Найти показатель эффективности СМО.

3. Найти вероятность того, что в очереди будет не более ν=2 пассажиров.

4. Определить оптимальное количество m=m_опт окон кассы, при котором относительная величина затрат С_отн , связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди пассажиров, задаваемая, например, как , будет минимальна. Сравнить показатели обслуживания при m=m_min и m=m_опт.

Решение.1. Данная касса автовокзала моделируется одноканальной СМО (m=1) с неограниченной очередью.

2. Число каналов (одно касса) m=1.

3. Интенсивность входящего потока l=3 пас./мин.

4. Среднее время обслуживания одной заявки  мин.

5. Интенсивность потока обслуживаний  пас./мин.

6. Показатель нагрузки системы  эрланга.

7. Нагрузка, приходящаяся на один канал , т.е. данная касса не справляется с потоком пассажиров на обслуживание, и со временем количество пассажиров, приходящихся на кассу, будет неограниченно возрастать.

8. Касса справится с потоком пассажиров при условии, что коэффициент нагрузки будет меньше 1, т.е. .

Но тогда m>1,5. Следовательно, m=2, g=0,75. Таким образом, число окон, при котором касса справится с потоком пассажиров, должно быть не менее двух (m=2).

9. Построим граф состояний двухканальной СМО (m=2) с неограниченной очередью.

Рис. 15

10. Вероятность того, что в системе нет ни одной заявки, равна вероятности того, что обе кассы свободны:

11. Вероятность состояния системы равна вероятности того, что у касс обслуживаются один или два пассажира:

,

Вероятность того, что в очереди стоят 1, 2, 3 или 4 и т.д. пассажира, определяется так:

 ит.д.

12. Вероятность отказа Р_отк = 0.

13. Вероятность того, что заявка будет принята в СМО: Р_сист = 1-Р_отк =1.

14. Относительная пропускная способность q = Р_сист = 1-Р_отк =1.

15. Вероятность того, что заявка окажется в очереди:

.

16. Абсолютная пропускная способность A = λ∙q = 3∙1 = 3.

17. Среднее число занятых кассиров (среднее число обслуживаемых пассажиров) .

18. Среднее число пассажиров в очереди

.

19. Среднее число пассажиров у кассы

.

20. Среднее время, которое пассажир проводит в очереди:

 мин.

21. Среднее время, которое пассажир тратит на приобретение билета (среднее время, которое заявка проводит в системе):

 мин.

22. Вероятность того, что обслуживания ожидают не более n=2 заявок (вероятность того, что в очереди не более n=2 пассажира):

23. Коэффициент (доля) занятых обслуживанием окон

.

24. Относительная величина затрат при m=2

.

25. Рассчитаем относительную величину затрат при других значениях m (табл. 3).

26. Минимальные затраты получены при m = m_опт = 3 окнам кассы (см. табл. 3, в которой  показаны показатили эффективности). Как видим, при m = 3 по сравнению с m = 2 существенно уменьшилась вероятность возникновения очереди Р_оч, длина очереди  и среднее время пребывания в очереди . Соответственно уменьшились: среднее число пассажиров , среднее время нахождения у окон , а также доля занятых обслуживанием окон . Но  и А не изменились.

                                                                              Таблица 3

27. Вероятность того, что в очереди будет не более 2 пассажиров:

Заметим, что в случае m = 2 та же вероятность существенно меньше:

.

Пример 10. - Билетная касса работает без перерыва.

- Данная касса имеет два окошка, в каждом из которых продаются билеты в два пункта Х и Y.

- Среднее число пассажиров, желающих приобрести билеты в кассе, для обоих пунктов одинаково: l_х = l_y = 0,3 пасс./мин.

- Время, которое тратит касир на обслуживание одного пассажира, в среднем равно  мин.

- Все потоки в системе простейшие.

- Рассматриваются два варианта продажи билетов:

а) билеты продаются в одной кассе с двумя окошками одновременно в оба пункта Х и Y;

b) билеты продаются в двух специализированных кассах (по одному окошку в каждой), одна - только в пункт Х, другая – в пунктY.Необходимо:

1. Сравнить два варианта продажи билетов по осоновным показателям