Переменное электромагнитное поле

диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью  e = 4. Жила и оболочка выполнены из алюминия с удельной проводимостью            g = 32·10 ⁴ Cм/см. По кабелю протекает посто-янный ток  I = 100 А  при напряжении в рас-сматриваемом сечении  U = 6 кВ.

Пренебрегая током утечки (проводи-мость изоляции принять равной нулю), определить закон изменения осевой составляющей вектора Пойнтинга через поперечное сечение изоляции. Найти поток вектора Пойнтинга через поперечное сечение изоляции. Найти потоки вектора Пойнтинга внутрь жилы и оболочки на единицу длины кабеля, с их помощью рассчитать сопротивления жилы и оболочки.

Решение

Вектор Пойнтинга рассчитывается через напряжённости электрическо-го и магнитного полей =[´]. Радиальная составляющая вектора напряжённости электрического поля (см. раздел 12)

E_r === 4330 B/см  при  r[см].

На поверхности жилы получаем   E_rж == 14400 B/см, на внутренней поверхности оболочки   E_rоб == 3610 B/см.

Напряжённость магнитного поля рассчитывается по закону полного тока и имеет только составляющую H_a. Для области диэлектрика

H = H_a ==·= 15,92· A/см  при  r[см].

На поверхности жилы получаем  H_ж = 53,1 A/см, на внутренней стороне оболочки          H_об = 13,3 A/см.

Тангенциальная составляющая напряжённости электрического поля на поверхности жилы направлена вдоль положительного направления оси z (от генератора к нагрузке)

E_tж === 11,06·10 ^-4 B/см   и    =E_tж, на поверхности оболочки тангенциальная составляющая направлена противоположно:

E_tоб === 8,12·10^-4 B/см  и  = -E_tоб.

Заметим, что тангенциальная составляющая напряжённости электриче-ского поля меньше радиальной на 7 порядков (отличается » в 10⁷ раз).

Осевая составляющая вектора Пойнтинга, направленная от генератора к нагрузке,

П_z = E_r·H_a =·= 68,92·10³· Bт/см²  при  r[см].

Поток мощности через изоляцию кабеля

== UI = 6000·100 = 6·10⁵ Bт = P_н, то есть энергия к приёмнику передаётся по изоляции кабеля и определяется потребляемой мощностью нагрузки.

Поток энергии внутрь жилы на единицу длины  l  (рис. 15.5)

= E_tж·H_ж·2pr₁l =··2pr₁l = I²= I²= DP_ж, где DP_ж – мощность потерь в жиле длиной l.

Формула = R_ж  представляет собой омическое (полученное на постоянном токе) сопротивление проводника. Таким образом, на единицу длины  l = 1 м = 100 cм  получаем

R_ж == 11,06·10 ^-4 ом,     DP_ж = 11,06 Bт.

Тепловые потери в оболочке определяются потоком вектора Пойнтинга внутрь оболочки:

DP_об = П_об·S_об = E_toб·H_oб·2pr₂l =··2pr₂l = I².

Сопротивление оболочки на единицу длины  l = 1 м

R_об === 8,12·10 ^-4 ом,

DP_об = I²R_об = 100²·8,12·10 ^-4 = 8,12 Bт  при длине кабеля  l = 1 м.

ЗАДАЧА 15.8. По двухпровод-ной шине, расположенной в воздухе, с проводами одинакового радиуса   r₀= 2 см, обладающими очень боль-шой удельной проводимостью          (g = ¥), замыкается ток  I = 1 кА, как показано на рис. 15.6. Напряжение между проводами  U = 1 кВ.

Рассчитать вектор Пойнтинга для точек А, В, С, лежащих на оси х, если расстояние между проводами          d = 0,5 м.

Примечание. Так как  d >> r₀,  смещением электрических осей от геометрических осей проводов пренебречь.

Ответ: П_A = 15,84·10⁵ Bт/м²,  П_B = 28,2·10⁵ Bт/м²,  П_C = 10,13·10⁵ Bт/м².

15.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕМЕННОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ.

При синусоидальном установившемся режиме переменного электромагнитного поля его характеристики выражаются с помощью комплексных амплитуд или комплексов действующих значений, когда мгновенные значения определяются соотношениями

(wt) =sin(wt +y_E) = Im(e ^jwt), где верхняя стрелка обозначает, что рассматривается векторная величина, а нижняя риска указывает на комплексную форму величины  E = E.

Выполнив операции дифференцирования по времени, предусмотрен-ные уравнениями Максвелла для мгновенных значений, опустив операцию «мнимая часть» и сократив на e ^jwt,  получают уравнения Максвелла в комплексной форме.

Запишем их в соответствии с подразд. 15.1:

1) = I;  rot== g + jw = g + jwee₀ при отсутствии тока переноса;

2)   = -jwФ;   rot = -jw = -jwmm₀;

3)   = q;         div = r;

4)   = 0;         div = 0.

Уравнения связи принимают вид

= g + jw ,      = e₀+ = ee₀,    = m₀(+) = mm₀.

Граничные условия в комплексной форме определяются равенствами:

E_1t = E_2t,   D_1n = D_2n – для диэлектриков;

E_1t = E_2t,   d_1n = d_2n   – для проводящих сред;

H_1t = H_2t,   B_1n = B_2n – для магнитной составляющей поля.

Вводится комплексный вектор Пойнтинга  =, где  – сопряжённый комплекс напряжённости магнитного поля. Тогда

-= P+ jQ =+ 2jw.

Для однородной изотропной среды при отсутствии свободных зарядов  q = 0,  r = 0   в соответствии с третьим уравнением Максвелла    = 0,  div = 0,  div = 0, а 4 уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению: