Векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в анализ, дифференциальное исчисление функций одной переменной

некоторому закону ставится в соответствие вполне определённое действительное число , то говорят, что  есть функция переменной величины и пишут .

Множество называется областью определения функции и обозначается . Множество всех значений функции , когда пробегает всю область определения, называется областью изменения или областью значений функции и обозначается .

Например, для функции  область определения , область значений .

Различают следующие способы задания функции: табличный, графический, аналитический (с помощью формул).

Под графиком функции понимают множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения независимой переменной, а ординаты равны соответствующим значениям функции. График фукции есть некоторая линия на плоскости. Например, уравнение задает функцию, графиком которой является парабола.

К основным элементарным функциям относятся:

1.   (при постоянном ) — степенная функция;

2.   (при постоянном , , ) — показательная функция;

3.   (при постоянном , , ) — логарифмическая функция;

4.  — тригонометрические функции;

5.   — обратные тригонометрические функции.

Функция, заданная последовательной цепью нескольких функций (, где ), называется сложной функцией. Например, функция сложная, и она может быть представлена следующей цепью основных элементарных функций: .

Функции, образованные из основных элементарных функций посредством конечного числа алгебраических операций и взятия функции от функции, называются элементарными.Все остальные функции называются неэлементарными. Примером неэлементарной функции может служить функция вида

Функция, определяемая уравнениями в которых зави-симость междуиустанавливается посредством третьей перемен-ной ,называется заданной параметрически, при этом —параметр.

Например, уравнения  определяют ли-нейную функцию.

§2. Предел числовой последовательности. Предел функции

Определение. Число называется пределом последователь-ности  если для любого положительного числа существует такой номер ,  что при всех выполняется неравенство .

Если последовательность  имеет своим пределом число , то это записывается следующим образом .

Определение. Число А называется пределом функции в точке , если для каждого числа  найдется такое число , что при  выполняется неравенство .

Обозначают этот факт так: .

Если число является пределом функции  в точке , то на графике это иллюстрируется следующим образом. Так как из неравенства  следует неравенство , то это значит, что для всех , отстоящих от  не далее чем на , точка графика функции  лежит внутри полосы шириной , ограниченной прямыми  и . Очевидно, что с уменьшением величина также уменьшается (см. рис.3.1).

                       

 

                  

                                                    M                

                  

 

0                                                    

Рис.3.1

Число  называется пределом функции  в точке, если для любого существует число , что при всех выполняется неравенство .

Функция  называется ограниченной в области D, если существует постоянное число , что для всех выполняется неравенство .

Например, функция  ограничена для всех, так как в этой области .

§3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение. Величина называется бесконечно малойвеличиной в точке, если .

Величина называется бесконечно большой величиной в точке ,если .

Например, функция  является бесконечно малой в точке , а функция  есть бесконечно малая в точках , так как их пределы в соответствующих точках равны нулю. Функция  является бесконечно малой в точке  и бесконечно большой в точке .

Теорема. Если — бесконечно малая величина в точке , то —бесконечно большая величина в этой же точке .

Если  — бесконечно большая величина в точке , то - бесконечно малая величина в этой же точке ().

(Доказательство см. [1], гл. II, §4.)

Справедливы следующие утверждения:

1.  Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

2.  Произведение ограниченной величины на бесконечно малую величину есть бесконечно малая величина.

3.  Произведение конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

§4. Теоремы о пределах

Если пределы  и  существуют и конечны, то

1.  , где с – const;

2.  +;

3.  ;

4.  , где .

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел: .

Второй замечательный предел:

, где  — иррациональное число,  — одна из фундаментальных величин в математике. Оно определяет, например, функции: , которая называется экспонентой; , которая называется натуральным логарифмом.

Пример 3.1. Вычислить .

Так как , то применима теорема о пределе частного. Значит, .

Пример 3.2. Вычислить .

Так как при  числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, стремятся к бесконечности, то имеем неопределенность вида . Для раскрытия таких неопределенностей делят числитель и знаменатель дроби на старшую степень . После деления на  получаем:

.

Пример 3.3. Вычислить .

Так как , то имеем неопре-делённость вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на линейные множители. Так как при  и , то . Тогда .

Пример 3.4. Вычислить .

.

Пример 3.5. Вычислить .

Для раскрытия неопределённости  воспользуемся первым замечательным пределом. Считая, что , проведём очевидные преобразования:

.

Пример 3.6. Вычислить .

Для раскрытия неопределённости  воспользуемся вторым замечательным пределом: , поскольку .

§5. Сравнение бесконечно малых величин

Для сравнения двух бесконечно малых величин  и в точке находят предел отношения .

Если  и  товеличины  и  называются бесконечно малыми одного порядка.

Если , то называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с. Записывается это так: .

Если , то бесконечно малые величины  и  называют эквивалентным и обозначают . Например, в точке , так как .

Основные эквивалентности в точке :

,       ,

,     ,

,       .

При вычислении пределов используют следующую теорему.

Теорема.Предел отношения двух бесконечно малых величин в некоторой точке равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых величин в той же точке.

Доказательство см. [1], гл. II, §11.

Пример 3.7. Вычислить .

Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми величинами. Так как при    и , то .

§6. Непрерывность функции

Определение. Функция  называется непрерывной в точке , если предел функции в точке  существует и .

Односторонними называются пределы:

 - левосторонний предел в точке ;

- правосторонний предел в точке .

Определение. Функция  называется непрерывной в точке , если существуют односторонние пределы в точке и .                                                       (*)

Если односторонние пределы конечны, но нарушается хотя бы одно из равенств (*), то  называется точкой разрыва 1-го рода.

Если хотя бы один из этих односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то  называется точкой разрыва второго рода.

Например, функция , имеет в точке  разрыв 1-го рода (рис. 3.2).                             y

 

                                                                           1

                                                                           0      1                      x

                                                                         -1

Рис. 3.2

Функция  имеет в точке  разрыв второго рода (рис.3.3).

                                          y

                                           0                  2                                          x

Рис.3.3

Если функция непрерывна во всех точках отрезка , то она называется непрерывной на этом отрезке.

Из определения непрерывности функции и теорем о пределах следуют теоремы:

I. Если функции  и  непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны функции , , .

II. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна в соответствующей точке.

III. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Доказательство приведено, например, в [1], гл. II, §9.

РАЗДЕЛ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§1. Производная функции,её геометрический и механический смысл

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки х. Если переменная х получит приращение , то функция у получит приращение .

Определение. Производной функции  в точке х называется предел отношения приращения функции  к приращению аргумента , когда , т.е.

.

Для производной функции  в точке х применяют также обозначения:

.

Функция, имеющая в данной точке конечную производную, называется дифференцируемой в этой точке.

Геометрический смысл производной. Построим график функции  и проведём к нему касательную через точку  (рис.4.1). Обозначим через угол, образованный этой касательной c осью , тогда

, т.е. производная  функции  равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой .

                                                     y                    

                                                 

                                                                        α

0                          x₀                   x

Рис.4.1

Уравнение касательной к кривой  в точке  имеет вид

, а уравнение нормали к данной кривой в этой же точке записывается в виде

 при условии, что .

Если , то уравнение касательной: , а уравнение нормали: .

Механический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону . Тогда , т.е. производная от пути по времени есть скорость движения точки.

§2. Основные правила дифференцирования

Если функции  и  дифференцируемы, то

1.  , .

2.  .

3.  .

4.  , .

5.  Если  и  - дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция  тоже дифференцируема и

 или .

Это правило легко распространить на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций.

6.  Если для дифференцируемой функции существует обратная функция , то  

 или .

§3. Таблица производных основных элементарных функций

В приводимой ниже таблице:;;,;.

;
;
;		;
;		;
;		;
;		;
;		;
;		;
;		;
;		;
;		;
;
;		;
;		;
;		;
;		.

Доказательство справедливости указанных формул смотрите в [1], гл.III, §5, 6, 8, 10, 12, 14.

Пример 4.1. Найти производную функции .

Данную функцию представляем в виде. Тогда .

Пример 4.2. Найти производную функции .

.

Здесь при решении указывались формулы, которые применялись при вычислении производных.

Пример 4.3. Найти производную функции .

Последовательно используем формулы для производных сложных функций

.

Пример 4.4. Найти производную функции .

Применим формулу производной произведения

.

Пример 4.5. Найти производную функции .

.

§4. Дифференциал функции, его геометрический смысл.

Правила дифференцирования

Если функция  дифференцируема в точке , то существует конечный предел

.

Отсюда следует, что , т.е. , где  - бесконечно малая величина . Это значит, что приращение функции , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде .

Определение. Дифференциалом функции в точке  называется главная линейная часть приращения функции в этой точке, т.е.

.

Обозначая , получим формулу

 или , т.е. дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента.

Геометрический смысл дифференциала функции. Дифференциал функции  равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке , когда аргумент получает приращение  (рис.4.2).

 

                                          

 

                                                                                   

                                                                       

                        

 

                                

0                                                                      

Рис.4.2

Пример 4.6. Найти дифференциал функции .

Находим производную . Тогда .

Если  - постоянная,  - дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила нахождения дифференциалов:

1.  ,

2.  ,

3.  ,

4.  ,

5.  ,

6.  .

§5. Производные и дифференциалы высших порядков

I.  Производной -ого порядка называют производную, взятую от производной -го порядка, т.е.

.

Согласно этому определению производная порядка  любой функции находится последовательным её дифференцированием раз, т.е. для функции  имеем

Для обозначения производной -го порядка применяются символы

.

Физический смысл второй производной. Так как производная любой функции равна скорости её изменения в данной точке, то вторая производная от пути по времени равна ускорению движения точки в данный момент времени, т.е. .

II.  Дифференциалом -ого порядка функции  называется дифференциал, взятый от дифференциала -го порядка, т.е.

.

Откуда следует, что , т.к.  не зависит от . Аналогично получаем

.

Пример 4.7. Найти производную и дифференциал второго порядка функции .

Находим первую производную

.

Следовательно, .

Дифференцируя первую производную, получаем

, значит .

§6. Правило Лопиталя и его применение к

раскрытию неопределённостей

Теорема. Пусть функции  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале  и в точке  одновременно обращаются в нуль или равны бесконечности. Тогда, если существует предел , то справедливо равенство  .

Правило применимо и в случае, когда .

Пример 4.8. Найти .

Так как функции  и  непрерывны и дифференцируемы в точке  и , то применяя правило Лопиталя, получим .

Пример 4.9. Найти .

.

РАЗДЕЛ 5. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ИХ ГРАФИКОВ

§1. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции

Определение. Если для всех точек интервала  при  выполняется неравенство , то функция называется возрастающей (убывающей) на .

Признаки возрастания (убывания) функции.

1.  Если функция  дифференцируема на интервале  и возрастает (убывает), то  для любых .

2.  Если функция  дифференцируема на интервале  и , то она возрастает (убывает) на .

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для любых  из этой окрестности .

Точки, в которых функция достигает максимума или минимума, называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называют экстремальными.

 

                                       

 

      0                                                     Рис.5.1

Функция, заданная кривой на рис.5.1, в точках  и достигает максимума, а в точке  - минимума.

Необходимый признак экстремума. В точке экстремума производная функции равна нулю или не существует.

Функция  (рис.5.1) в точках  и  имеет производную равную нулю. Касательные к кривой в этих точках параллельны оси . Но функция может достигать экстремума и в точках, в которых производная не существует (точка ).

Достаточный признак экстремума. Пусть функция  дифференцируема в некотором интервале, содержащем критическую точку , кроме, быть может, самой точки . Тогда, если при переходе через критическую точку производная

1)  меняет знак с + на – , то в точке  функция имеет максимум;

2)  меняет знак с – на +, то в точке  функция имеет минимум;

3)  не меняет знак, то в точке  нет экстремума.

Схема исследования функции на экстремум с помощью первой производной:

 

     +          –          +   +    

Пример 5.1. Исследовать на экстремум функцию .

Находим критические точки данной функции

  

Исследуем знак производной при переходе через критические