Метрическое пространство заданное множество M с определением на нем функции

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»

Расчётно-графическое задание.

по дисциплине «Функциональный анализ»

Студент группы 4ВС-1                                                                                        Рогозин В.А.

Преподаватель:                                                                                                   Хусаинов А.А.

Комсомольск-на-Амуре

2006

Задача 1

Ответить на следующие вопросы:

(a)  Является ли метрическим пространством заданное множество M с определенной на нем функцией d: M´M ® M ?

(b)  Будет ли (M, d) полным метрическим пространством?

M – множество замкнутых отрезков [x,y] на прямой,  d([x₁,y₁], [x₂ ,y₂ ] ) = | x₁  – x₂| + |y₁ – y₂|

Решение:

(a)Для того чтобы множество было метрическим пространством, необходимо чтобы выполнялись следующие аксиомы:

1. d(x,y) >= 0 и d(x,y)=0 ó x=y;
2. d(x,y) = d(y,x);
3. d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z);

Проверим выполнение каждой из этих аксиом для данного множества.

1)  |x1-x2|+|y1-y2| >= 0  очевидно, т.к. |x1-x2| и |y1-y2| >= 0  (выполняется)

2)  d(|x1,y1|,|x2,y2|) = |x1-x2|+|y1-y2| = |x2-x1|+|y2-y1| = d(|x2,y2|,|x1,y1|) (выполняется)

3)  d(|x1,y1|,|x2,y2|) + d(|x2,y2|,|x3,y3|) >= d(|x1,y1|,|x3,y3|);

|x1-x2|+|y1-y2| + |x2-x3|+|y2-y3| >= |x1-x3|+|y1-y3|

Пусть у1 и х1 будет левой точкой, а х3 и у3 – правой, тогда x1>x2>x3 и у1>y2>y3. Тогда x1-x2+y1-y2+x2-x3+y2-y3 >= x1-x3+y1-y3

x1-x3+y1-y3 >= x1-x3+y1-y3

0 >= 0 (неравенство верно, значить 3-я аксиома выполняется)

Так как выполняются все аксиомы, то исходное множество является метрическим пространством.

(c)  M  - множество замкнутых отрезков [x,y] на прямой,

d(|x1,y1|,|x2,y2|) = |x1-x2|+|y1-y2|

Рассмотрим в этом пространстве последовательность попарно не пересекающихся отрезков:

[x_n,y_n] = [n,n-1/(2^n)], тогда  для любых m.n > N существует N_ɛ  d([xm,ym],[xn,yn]) < ½^m+ ½ⁿ < 2/2^N_ɛ  < ɛ

|xm – yn| < ɛ -фундаментальная последовательность

|ym - yn| < ɛ(xn,yn) –фундаментальная последовательность

x=lim xn     y=lim yn

[x,y]=lim[xn,yn] => существует n : [xn,yn] < [x,y]

Но для такой последовательности любой отрезок, концы которого совпадают будет является пределом, следовательно данная последовательность не будет иметь предела, значит не является фундаментальной. Отсюда следует, что исходное пространство является полным.

Задача 2

Построить оператор для решения заданного уравнения. Доказать, что он является сжимающим. Построить последовательные решения  интегрального уравнения и оценить точность

 , y₀(x)=0.              y(x)=sin x

Решение:

1)  построим оператор A : C[0,b] -> C[0,b]

Докажем что  Ау  сжимающий

А - сжимающее

2) последовательные решения

3) оценка точности
Задача 3

Доказать, что топология метрического пространства удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа.

x1,x2 є (M,d), если x1 ≠ x2 => существует ɛ > B(x1, ɛ) ∩ B(x2, ɛ) = 0

Решение:

ɛ = d(x1,x2)/4

пусть x є B(x1, ɛ) ∩ B(x2, ɛ), тогда d(x1,x2) < d(x,x2) + d(x,x2) < 2ɛ = d(x1,x2)/2 =>

d(x1,x2) = 0, что противоречит условию => топология метрического пространства удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа, что и требовалось доказать.