Краткие сведения из теории множеств

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Приложение

Глава 10. Краткие сведения из теории множеств

Следуя, например, [5], рассмотрим некоторое множество (совокупность) элементов какой-либо природы. Обозначим его через , а его элементы через .

Запись  означает, что  является элементом множества ,  означает, что  не является элементом множества .

Определение 10.1: Пусть  – два множества. Если каждый элемент  входит также в , то говорят, что  – подмножество  и обозначают: .

Например,  (множество натуральных чисел),  ().

Определение 10.2: Равными называют одинаковые множества:  (все элементы  совпадают с элементами ).

Пример множества: множество вещественных корней алгебраического уравнения. Однако такие уравнения могут не иметь вещественных корней, поэтому вводят понятие пустого множества: . Пустое множество является подмножеством любого множества.

Рис. 10.1

Определение 10.3: Суммой двух множеств  и  называется множество , которое состоит из всех элементов, входящих, по крайней мере, в одно из множеств  или .

Определение обобщается для произвольного числа множеств: .

Определение 10.4: Разностью (дополнением к множеству )  называется подмножество множества , не входящее в .

Определение 10.5: Пересечением двух множеств  и  называется множество (обозначаемое ), состоящее из всех элементов, которые входят и в , и в .

Очевидно: .

Если , то .

Дистрибутивность: .

10.0.1. Мощность множества

Конечные множества можно легко сравнить между собой, например, с помощью подсчета. Пример: сравнить число студентов, пришедших в аудиторию, с числом стульев.

Определение 10.6: Пусть даны два множества  и . Говорят, что между их элементами установлено взаимно однозначное соответствие, если указало правило, по которому каждому элементу  соответствует один элемент , называемый образом элемента «», причем выполнены следующие два условия:

a)  любые два элемента из  имеют различные образы;

b)  любой элемент из  является образом некоторого элемента из .

Определение 10.7: Два множества  и  называются эквивалентными или имеющими одинаковую мощность (обозначается ), если между их элементами может быть установлено взаимно однозначное соответствие.

Очевидно, два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они состоят из одного числа элементов.

10.0.2. Примеры эквивалентных множеств

1.  Множество  всех натуральных чисел и множество  всех целых отрицательных чисел ().

2.  Множество  и множество  всех положительных четных целых чисел: , , .

3.  Множество  всех вещественных чисел и множество  всех вещественных чисел из интервала  (, , ).

4.  Пусть  – треугольник произвольной формы, а  и  – множества всех точек на сторонах  и  соответственно.

Рис. 10.3

Справедливы свойства:

1.  Если , , то .

2.  Если множество , причем слагаемые  попарно не имеют общих элементов, а множество  и слагаемые  также попарно не имеют общих элементов, и если  при каждом , то .

10.1.  Счетные множества

Определение 10.8:Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству всех натуральных чисел.

То есть, если , то  – счетно. Согласно [5], справедливы следующие теоремы:

Теорема 10.1:Сумма счетного множества счетных множеств – тоже счетное множество.

Теорема 10.2:Множество всех рациональных чисел счетно.

Теорема 10.3:Множество  всех алгебраических полиномов с рациональными коэффициентами счетно.

10.2. Множества мощности континуума

Теорема 10.4:Множество всех вещественных чисел, содержащихся в отрезке , несчетно.

Определение 10.9:Говорят, что множество  имеет мощность континуума (обозначение: «»), если оно эквивалентно множеству всех чисел из отрезка .

Замечание 10.1:Любой промежуток  имеет мощность «» ().

Следствие 10.1:Множество всех вещественных чисел имеет мощность «».

Теорема 10.5:Множество всех иррациональных чисел имеет мощность «».

Можно рассмотреть вопрос о сравнении мощностей (подробности см., например, в [5]).

Континуум гипотеза 10.1:Не существует множества промежуточной мощности между мощностью счетного множества и мощностью «», но существует множество мощности большей «».

10.3. Кольца и алгебры множеств

Определение 10.10:Пусть  – произвольное множество. Непустая совокупность  некоторых его подмножеств называется кольцом, если для любых :

,     .

Определение 10.11:Непустая совокупность  подмножеств множества  называется алгеброй, если она удовлетворяет следующим условиям:

если , то ;

если , то и его дополнение .

Теорема 10.6:Для того чтобы совокупность  подмножеств множества  была алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была кольцом и чтобы .

Определение 10.12:Непустая совокупность  подмножеств множества  называется -кольцом, если она – кольцо, замкнутое по отношению к операции сложения не только конечного, но и счетного семейства множеств, т. е.:

1.  из условия  () следует, что ;

2.  из условия  следует, что .

Определение 10.13:Непустая совокупность  подмножеств множества  называется -алгеброй, если она удовлетворяет условию 1 из определения -кольца и условию 2 из определения алгебры .

Утверждение 10.1:Для того, чтобы совокупность  была -алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была -кольцом и чтобы .

10.4. Точечные множества в евклидовом пространстве

Рассмотрим -мерное пространство, образованное множеством всех точек

Похожие материалы

Информация о работе