Метод касательных или метод Ньютона

Метод касательных.

Медод касательных, который часто называют методом Ньютона, состоит в следующем. Пусть на отрезке [a,b] находиться единственный корень уравнения f(x)=0. Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке A[a,f(a)] до пересечения с осью Ox.(см. рис.)

Уравнение касательной, проходящей через точку А, будет следующим: . Если, то из этого уравнения (при у=0) находим абсциссу  точки пересечения касательной с осью Ох:

.

Абсциссу  точки пересечения можно взять в качестве приближенного значения корня. Если проведем касательную через соответствующую точку A1[x1,f(x1)] и найдем точку пересечения с осью Ох, получим второе приближение корня. Аналогично определяются  последующие приближения. Применяя метод касательных n-е приближение находят по формуле:

причем за нулевое приближение  принимается такое значение из отрезка [a,b], для которого выполняется условие

Вычисления проводят до тех пор, пока не перестанут изменятся сохраняемые в ответе десятичные знаки. Для промежуточных выкладок надлежит брать один-два запасных знака. Оценка погрешности определяется формулой

Приближенное вычисление корня по методу касательных, определение номера n приближения xn, при котором будет достигнута заданная точность, можно осуществить на основе следующей теоремы.

Пусть для уравнения f(x)=0 и начального  приближения x0 искомого корня  выполняются условия:

1)  ≠A и

2) 

3)   на отрезке

4) 

5) 

Тогда данное уравнение имеет корень , принадлежащий отрезку . Этот корень может быть получен как предел последовательности каждый член которого находится по формуле

Оценка погрешности определяется по формуле