Адаптивная линейная фильтрация при параметрической априорной неопределенности, алгоритм с оцениванием R(k+1)

Постановка задачи

Задача адаптивной фильтрации при параметрической неопределенности возникает в результате частичной априорной статистической неопределенности, при которой закон распределения компонент, оцениваемых и проверяемых компонентов известен с точностью до некоторой  совокупности параметров. Параметрически адаптивный алгоритм оценивания – алгоритм, котороый на основе обработки измерительной информации способен не только давать оценку требуемых компонент случайных процессов, но и восстанавливать статистические характеристики априорного описания динамической системы и измерений.

Алгоритм

Классический дискретный фильтр Калмана

1.  Модель системы описывается рекурентным соотношением

 (1), где х(k) – вектор состояния системы, u(k) – вектор управления, w(k) – вектор возмущений, Ф(k+1, k) – переходная матрица состояния системы, Y(k+1, k) – матрица управления, Г(k+1,k) – матрица возмущения.

2.  Модель дискретных измерений

 (2), где Н_к – матрица измерений, v(k) – вектор возмущений

3.  Априорные данные:

x(0) ~ N(x(0), P₀), w(k) ~ N(0, Q_k), v(k) ~ N(0, R_k);

cov(w(k), w(j)) = Q_k*d_ij; cov(v(k), v(j)) = R_k*d_ij;          (3)

cov(w(k), v(j)) = cov(x(0), w(k)) = cov(x(0), v(k)) = 0;

Последовательность  действий:

1.  Алгоритм экстраполяции значений x(k+1,k) = M(x(k+1)|) и P(k+1,k)=cov(x(k+1),x(k+1)| ) имеет вид:

x(k+1,k) = Ф(k+1,k)*x(k,k) + Y(k+1,k)*u(k)                        (4),

P(k+1,k) = Ф(k+1,k)*P(k,k)*Ф^T(k+1,k) + Г(k+1,k)*Q_k(k,k)*Г^T(k+1,k) (5)

2.  Алгоритм фильтрации значений x(k+1,k) = M(x(k+1)|) и P(k+1,k)=cov(x(k+1),x(k+1)| ) задается рекурентным соотношением:

x(k,k) = x(k,k–1) + K_k(y(k)–H_k*x(k,k–1));     (6),

K_k = P(k,k–1)*[H_k*P(k,k–1)*  + R_k]^–1;   (7),

P(k,k) = (E – K_k*H_k)*P(k,k–1)          (8).

Алгоритм с оцениванием матрицы R_k

В отличие от фильтра Калмана, информация о точном значении матрицы R_k не доступна. То есть необходимо внести в алгоритм изменения с целью оценить матрицу R_k каким-либо образом. Для оценки матрицы R_k введем дополнительную величину – матрицу C_k, связанную с R_k соотношением

C_k = H_k*P(k,k–1)* + R_k, которую мы и будем в дальнейшем оценивать вместо матрицы R_k.

= (y(k) – H_k*-x(k,k–1))*(y(k) – H_k*x(k,k–1))^T

С учетом вышеизложенных изменений в алгоритме произойдут некоторые изменения.

Пусть модели состояния и наблюдения описываются разностными уравнениями (9) и (10) сответственно:

     (9),

         (10).

Априорные данные:

x(0) ~ N(x(0), P₀), w(k) ~ N(0, Q_k), v(k) ~ N(0, R_k);

cov(w(k), w(j)) = Q_k*d_ij; cov(v(k), v(j)) = R_k*d_ij;          (11)

cov(w(k), v(j)) = cov(x(0), w(k)) = cov(x(0), v(k)) = 0;

где матрицы Р₀, Q_k – известны заранее, матрица R_k – неизвестна.

Пусть критерий оптимизации имеет вид:

  (12)

Здесь под  понимается совместная условная плотность распределения х(k) и у(k).

Тогда

1.  Алгоритм экстраполяции значений:

x(k+1,k) = M(x(k+1)|)           (13)

 P(k+1,k)=cov(x(k+1),x(k+1)| ) (14)

имеет вид:

x(k+1;k) = Ф(k+1,k)*x(k;k) + Y(k+1,k)*u(k)                 (15)

P(k+1;k) = Ф(k+1,k)*P(k;k)* Ф^T(k+1,k) + Г(k+1,k)*Q_k*Г^T(k+1,k)       (16)

2.  Алгоритм фильтрации значений x(k+1,k) = M(x(k+1)|) и

P(k+1,k)=cov(x(k+1),x(k+1)| ) задается рекурентными соотношениями:

v(k) = y(k) – H_k*x(k;k–1)          (17)

 = v(k)*v(k)^T          (18)

K_k = P(k;k–1)**       (19)

x(k;k) = x(k;k–1) + K_kv(k)        (20)

P(k;k) = P(k;k–1) – K_k**    (21)

Доказательство.

Используя формулу полной вероятности, представим  в виде:

ln = ln  + ln  =

= ln + ln, т.е. формулу (12) перепишем в виде составного критерия:

ln     (22)

ln (23)

Справедливость того, что в силу критерия (22), модели состояния (9) и модели наблюдения (10), алгоритм экстраполяции задается соотношениями (15),(16), следует из дискретного фильтра Калмана. Покажем, что алгоритм фильтрации соответствует критерию (23). Т.к. в критерии (22) и (23) входит неизвестная величина Rk, необходимо найти ее оценку, используя соотношение (23).

Используя (11), можно записать