Численные методы решения задачи Коши

Министерство образования

Российской Федерации

Новосибирский государственный

технический университет

кафедра прикладной математики

Расчетно-графическая работа теме

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ»

Факультет: прикладной математики и информатики

Группа: ПМ-12

Студент: Дмитрий Койфман

Вариант: 8

Преподаватель:    Иткина Н.Б.

Новосибирск, 2003

Вариант задания:

Для прогноза  подобрать оптимальную коррекцию. Обосновать выбор.

Пусть дана задача Коши:

;    .

И для такой задачи рассмотрим прогноз вида:

При подстановке в данный прогноз полинома 3-ей степени имеем:

Приравняв коэффициенты в правой и левой частях при соответствующих степенях h, получим систему для определения коэффициентов:

Выберем в качестве параметра коэффициент, встречающийся во всех уравнениях, А₁ и выразим через него остальные коэффициенты, используя первые три уравнения:

Полученное семейство прогнозов, которое даже без выбора A₁ имеет порядок аппроксимации O(h²), исследуем на устойчивость.

Пусть , где u_n – точное решение задачи в узле сетки, а y_n – численное решение.

, где e_n – погрешность вычисления.

.

Положим, где  (по теореме о среднем значении функции, поскольку по условию f(x,y) непрерывна по y). Обозначим .

A_n можно считать ограниченной, поэтому при исследовании асимптотической устойчивости ():

.

Его решение будем искать в виде . Получим

поделим на :

.

Для нашего семейства получим уравнение:

.

Корни данного уравнения:

Т.к. , сразу можем сделать вывод, что прогноз будет условно устойчивым.

Также для устойчивости необходимо выполнение условия .

Попробуем повысить порядок аппроксимации метода до O(h³) выбором A₁. Рассмотрим четвертое уравнение в полученной системе с коэффициентами. Оно станет тождеством при A₁=5, B₁=2. Заметим, что подобный прогноз выходит за границы области устойчивости. Т.о. выбором параметра мы не можем добиться повышения порядка аппроксимации, хотя чем, больше мы выберем A₁, тем меньше будет погрешность:

Возьмем в качестве основного (оптимального) прогноза следующий:

Теперь выберем коррекцию. Общий вид двухточечной коррекции имеет вид:

.

Аналогичным образом построим семейство коррекций и исследуем его на устойчивость.

Для функции  получим уравнение:

Система для нахождения коэффициентов:

Запишем уравнение для погрешности:

если ,то:

.

Или с учетом коэффициентов семейства:

.

Корни данного уравнения:   

Т.к. , сразу можем сделать вывод, что коррекция будет условно устойчивой.

Также для устойчивости коррекции, так же, как и для прогноза, необходимо выполнение условия .

Аналогично, прогнозу нельзя повысить и порядок аппроксимации коррекции:

Т.о. оптимальной коррекцией предположительно является условно асимптотически устойчивая:

Экспериментально сравним использование различных коррекций:

1)  оптимальный прогноз с оптимальной коррекцией ();

2)  оптимальный прогноз с неоптимальной, но устойчивой коррекцией из полученного семейства ();

3)  оптимальный прогноз с коррекцией с меньшим порядком аппроксимации (т.е. не из полученного семейства: берем только первых три уравнения системы для коррекции:и выбираем коэффициенты, например:  )

Также проверим правильность нахождения области устойчивости и полученные порядки аппроксимации.

Выводы:

Эксперименты подтвердили выбор оптимальной пары прогноз-коррекция для заданного вида прогноза. Во всех тестах эта пара превзошла другие протестированные.

Во всех экспериментах заметно, что величина  ведет себя также, как и точное значение (возрастает/убывает), причем изменяется быстрее искомой функции, т.к проверялись устойчивые прогнозы-коррекции.

Практически полученные порядки аппроксимации совпадают с теоретическими характеристиками методов.

Задание неустойчивой коррекции не позволяет использовать метод для расчетов. Но применение неустойчивого прогноза возможно, благодаря влиянию коррекции. Поэтому на практике можно считать оптимальным не прогноз, а теоретически неустойчивый прогноз

Результаты и сопутствующие выводы также прилагаются к таблицам.