Методы моделирования природных явлений и технологических процессов, страница 2

Построим график зависимости координаты от времени и фазовый портрет колебаний осциллятора (траектория движения исходит из точки ):

3. Построить аналитическое решение, соответствующее субгармоническому резонансу для случая, когда .

Уравнение перепишем в следующем виде:

Воспользуемся методом последовательных приближений, обозначив , и ограничившись учетом членов разложения по малому параметру 1-го порядка:

С учетом обозначений примет вид:

Подставим соотношение в :

Уравнение нулевого приближения:

Решение имеет вид:

, где

С учетом начальных условий и значений коэффициентов, константы равны:

Тогда

Уравнение первого приближения:

Подставив в решение и значения коэффициентов, получим:

Решая это уравнения найдем решение :

4. Построить численное решение

В качестве численного метода решения уравнения был использован метод Рунге-Кутта.

4.1

Уравнение будет иметь вид:

Взяты начальные условия и шаг .

График зависимости решения от времени:

Фазовый портрет:

4.2

Уравнение будет иметь вид:

При данных начальных условиях и шаге график зависимости решения от времени и фазовый портрет будут выглядеть следующим образом:

4.3

Уравнение будет иметь вид:

Колебания осциллятора представляют собой синусоиду, затухающую с течением времени по экспоненте. При данных начальных условиях и шаге график зависимости решения от времени и фазовый портрет будут выглядеть следующим образом:

4.4 Построить полное решение .

Уравнение будет иметь вид:

Фазовая траектория движения осциллятора сворачивается в эллипс за счет затухания экспоненциальной компоненты решения, обусловленной трением, и осциллятор продолжает свое колебание под действием вынуждающей силы.

Взяты начальные условия и шаг . График зависимости решения от времени и фазовый портрет приведены ниже:

4.5 Для уравнения при построить решение, положив частоту вынуждающей силы равной частоте собственных линейных колебаний

Уравнение будет иметь вид:

Фазовая траектория движения осциллятора раскручивается вокруг начала координат: за счет накачки энергии в систему и при отсутствии трения энергия системы увеличивается, и, соответственно, увеличивается скорость и амплитуда колебаний. Взяты начальные условия и шаг . График зависимости решения от времени и фазовый портрет приведены ниже:

4.6 Построить решение при , соответствующее субгармоническому резонансу

Уравнение будет иметь вид:

Явление субгармонического резонанса возможно при частоте вынуждающей силы . Тогда уравнение можно переписать в виде:

Взяты начальные условия и шаг . График зависимости решения от времени и фазовый портрет выглядят следующим образом:

4.7 Построить решение при , соответствующее субгармоническому резонансу

При уравнение будет иметь вид:

4.8 Когда в уравнении может возникнуть параметрический резонанс?

Явление параметрического резонанса возможно при частоте вынуждающей силы , Было взято значение .

4.8.1

Уравнение будет иметь вид:

4.8.2

Уравнение будет иметь вид:

5. Изучить устойчивость решения полного уравнения относительно малых изменений начальных данных

Уравнение будет иметь вид:

По определению, решение устойчиво по Ляпунову:

если такое, что при выполняется .

Для определения устойчивости численного решения рассмотрим следующую величину:

Точным решением будем считать численное решение, просчитанное тем же методом с шагом меньшим на порядок (это можно, поскольку используется метод Рунге-Кутта с 4 порядком аппроксимации).

Построены графики зависимости величины .