Интегрирование функций.

Неопределённый интегралсовокупность первообразных ф-ии.

Св-ва

f интегрируема, ∫f(x)dx=F(x)+C

1. ∫df(x)=f(x)      d∫f(x)dx=f(x)dx d(∫f(x)dx)/dx=f(x)

2. ∫(a_kf_k(x))dx=a_k∫f_k(x)dx

3. ∫f(ax+b)dx=F(ax+b)+C

Замена переменных

Пусть f(x) определена на промежутке Δx, g(t)определена на Δt, g(Δt)Δx, g(t) дифференцируема на Δt, f(x) интегрируема на Δx. Тогда ∫f(g(t))·’(t)dt=F(g(t))+C.

g(Δt)Δx, f определена на Δxf(g(t)) определена на Δt.

F-первообразная для fF определена и диф-ма на Δх, F(g(t)) определена и диф-ма на Δt.

(F(g(t)))’=F’(g(t))·g’(t)=f(g(t))·g’(t).

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) опр-ны и диф-мы на Δ,  ∫u dv. Тогда  ∫vdu=u·v-∫u dv.

u·v опр-но и диф-мо на Δ

d(uv)=udv+vdu

∫d(uv)= ∫ v du+∫u dv

по св-вам неопр. ∫           ∫d(uv)=uv∫ v du=u·v-∫u dv

Интегрирование дробно-рациональных ф-ий

Любой полином n-ной степени имеет ровно n корней с учётом их кратности. При этом если все коэф-ты R, то комплексные корни будут образовывать сопряжённые пары.

f(x)=*P_t(x)=c·...··...·

Если знаменатель ф-ии f представлен в виде * , то f(x)=+.

Каждому из множителей в разложении знаменателя соответствует столько слагаемых в сумме, какова степень этого множителя, степени знаменателей в этих слагаемых постепенно возрастают. Коэф-ты A, C, D находятся с помощью метода неопределённых коэф-тов: 1) сложить все дроби в сумме, 2) приравнять числитель получившегося выр-я к числителю исходной ф-ии.

В силу линейности ∫ ∫f(x)dx=dx+dx.

Т. о. интегрирование любой дробно-рациональной ф-ии может быть сведено к выч-ю интегралов

1)

при n=1 =ln|x-a|+C, при n>1 =+C

2)  dx={t=x+p/2}=C+

+(D-Cp/2)

где a²=q-p²/4,     при n=1 =1/2ln(t²+a²)+C, при n≠0 =-+C,

=arctg+C,

=++C

В рез-тате интегрирования любой дробно-рациональной ф-ии получается выр-е, в к-е входят 3 типа ф-ий: 1) дробно-рациональные ф-ии - рациональная часть, 2) ln и 3)arctg – трансцендентная часть.

Метод Остроградского

=+

Q(x)=c·...··...·

Q₁=gcd(Q,Q’)=c·...··...·

Q₂=Q/Q₁

deg P₁=deg Q₁-1

deg P₂=deg Q₂-1

P₁ и P₂ находятся методом неопределённых коэф-тов из продифференцированной ф-лы Остроградского.

Интегрирование иррац. ф-ий

Для нахождения ∫ов, содержащих множители вида R(x) применяются след. гиперболич. и тригонометрич. подстановки:

R(x)=

x=a sint dx=a cost dt        R(x)=a cost         ч

x=a cost               dx=-a sint dt       R(x)=a sint          ч

x=a tht dx=           R(x)=          з

R(x)=

x=a tgt   dx=          R(x)=       з

x=a sht dx=a cht dt          R(x)=a cht           ч

R(x)=

x=             dx=dt      R(x)=       з

x=a ctht               dx=-          R(x)=           з

x=a cht  dx=a sht dt          R(x)=a sht           ч

{ подстановка используется «ч» - если R(x) – в числителе, «з»-в знаменателе }

Интегрирование рациональных тригонометрич. и гиперболич. ф-ий

∫R(sinx,cosx)dx подстановка z=tg(x/2)

тогда sinx=,      cosx=,     dx=

∫R(shx,chx)dx    подстановка z=th(x/2)

тогда shx=,       chx=,       dx=

3 ситуации, когда выч-я можно упростить:

1)R(-x,y)=-R(x,y)

подстановка z=cosx или z=chx

2)R(x,-y)=-R(x,y)

подстановка z=sinx или z=shx

3)R(-x,-y)=R(x,y)

подстановка z=tgx или z=thx

Подстановки Эйлера (для ∫ов вида ∫R(x,)dx)

1) a>0

=t-

x=

dx=

2) c>0

=

x=

dx=2dt

3) ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

t=

=t·|-x₂|

{выражение под  д. б. неотрицательным знак при раскрытии | | однозначен}

x=

dx=dt

∫ от дифференциального бинома

т. Эйлера-Чебышева

∫ от дифференциального бинома x^m(a+bxⁿ)^p м. б. сведён к ∫ от дробно-рациональной ф-ии только в 3х случаях:

1) pZ

Если p>0 , то (a+bxⁿ)^p – бином Ньютона.

Если p<0 , то x^m(a+bxⁿ)^p=. Тогда если m,nZ, то выр-е уже дробно-рациональное, иначе его можно свести к дробно-рациональной ф-ии заменой x=z^q, где q – наименьший общий знаменатель дробей

m и n.

2)

Тогда p=r/s , где rZ, sN,        замена (a+bxⁿ)^r/s=z^r,                      ∫(a+bxⁿ)^r/sdx=

3) p+

Тогда p=r/s , где rZ, sN,        замена z^s=ax^-n+b,                           ∫(a+bxⁿ)^r/sdx=

Определённый интеграл

Разбиение отрезка [a,b] Λ={a=x₀<x₁<...<x_n=b}.

Подотрезок разбиения Δk=[x_k,x_k+1].

|Δk|=x_k+1-x_k

Мелкость разбиения |Λ|=minΔk.

Выборка Ξ={ξ_k Δk | k=0,...,n-1}.

m_k=f(x), M_k=f(x).

Интегральная сумма Дарбу S(f,Ξ,Λ)=, верхняя (f,Λ)=, нижняя S(f,Λ)=.

Ф-я f(x) интегрируема по Риману на [a,b] (fR[a,b]), если у интегральных сумм S(f,Ξ,Λ) при |Λ|→0 вне зависимости от Ξ  предел (т. е. ε>0 δ Ξ Λ             |Λ|<δ|S(f,Ξ,Λ)-I|<ε). Значение этого предела I= - ∫ Римана от f на [a,b].