Интегрирование функций., страница 2

Ограниченная на отрезке ф-я f интегр-ма по Риману  ((f,Λ)-S(f,Λ))=0 (т. е. ε>0 δ Λ |Λ|<δ

((f,Λ)-S(f,Λ))<ε).

         Ф-я f интегр-ма по Риману

ε>0 δ Ξ Λ        |Λ|<δ|S(f,Ξ,Λ)-I|<ε/2.

I-ε/2<S(f,Ξ,Λ)<I+ε/2.

I-ε/2<S(f,Λ)(f,Λ)<I+ε/2  ((f,Λ)-S(f,Λ))<ε.

         Ф-я ограничена  все интегр. суммы  

определены I*=supS(f,Λ), I*=inf(f,Λ).

I*I*, (f,Λ)I*I*(f,Λ)

((f,Λ)-S(f,Λ))=0  I*=I*=I

(f,Λ)I(f,Λ)

0I-(f,Λ)(f,Λ)-(f,Λ)

0(f,Λ)-I(f,Λ)-(f,Λ)

(f,Λ)-(f,Λ)→0

(I-S(f,Λ))=((f,Λ)-I)=0

S(f,Λ)=(f,Λ)=I

(f,Λ)S(f,Ξ,Λ)(f,Λ)

S(f,Ξ,Λ)=I

Признаки интегрируемости

1) f непрерывна на [a,b]  fR[a,b].

[a,b] – компакт. По т. Больцано-Вейерштрассе f равномерно непрерывна на нём.

Произв. ε>0. Разделим [a,b] так, чтобы на

подотрезке Δk w(f)=f(x)-f(x).

(f,Λ)-(f,Λ)==ε

2) f монотонна на [a,b]  fR[a,b].

Пусть f возрастает.

(f,Λ)-(f,Λ)=(f(xk+1)-f(xk))|Δk|

|Λ|(f(xk+1)-f(xk))=|Λ|(f(b)-f(a))→0 при |Λ|→0.

3) f определена и ограничена на [a,b], точки её разрыва м. б. покрыты конечным числом интервалов с очень малой общей длиной (частный случай – конечное число точек разрыва)  fR[a,b].

Св-ва ∫ Римана

1) =b-a

2) =0

3) ||

4) f(x)<g(x) <

Сл-е f(x)(b-a)f(x)(b-a)

5) (fi(x))dx=fi(x)dx

6) fR[a,b]  =+

7) т. о среднем

fR[a,b], m=f(x), M=f(x) k[m,M]      

k(b-a)=

k=, k[m,M] по сл-ю из 4).

∫ и первообразная

Любая непрерывная на [a,b] ф-я имеет на нём первообразную F(x)=, x[a,b].

Ф-ла Ньютона-Лейбница: F(b)-F(a)=

Интегрирование методом подстановки

Пусть 1) f(x) непрерывна на [a,b];

2) g(t) нерерывна и дифференцирована на [c,d], g[a,b]t[c,d];

3) a=g(c0), b=g(d0), c0,d0[c,d].

Тогда =.

F’(x)=f(x) =F(b)-F(a)

==F(g(d))-F(g(c))=

=F(b)-F(a)

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) непрерывны и непр-но диф-мы на [a,b]. Тогда =u(x)v(x)|-.

(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)

=+=

=+

По ф-ле Ньютона-Лейбница =u(x)v(x)|

Геометрич. приложения определённого ∫

Площадь криволинейной трапеции (огранич. линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x) ) S=.

Длина кривой L=.

Объём тела с известным поперечным сечением S(x) V=.

Объём тела вращения V=π

Несобственный интеграл

Несобственные ∫ с ∞ пределами -

I==.

Если предел конечный, то I сходится, а f(x) интегрируема на [a,+∞), иначе I расходится.

Аналог-но ==+.

=F(x)=F(+∞)-F(a), т. е. несобств. ∫ сущ-ет  сущ-ет конечный F(b)=F(+∞).

Св-ва

1)  сходится  b>a  сходится.

2)  сходится  =0.

3) (fi(x))dx сходится  fi(x)dx сходится.

Признаки сходимости

Если f(x)>0 x , то Ф(А)= - монотонно возрастающая ф-я от А.

1) При f(x)≥0 x  сходится  при возрастающих А Ф(А) ограничена сверху.

2) Пусть x≥a, g(x)≥f(x). Тогда  сходится   сходится;  расходится   расходится.

3) Пусть  . Тогда  сходится, k<∞   сходится;  расходится, k>0   расходится.

Признак Коши

Пусть для достаточно больших x f(x)=, k>0, g(x) ограничена. Тогда при k>1  сходится; при k≤1  расходится.

Критерий Коши

 сходится  ε>0 B,C>a              |-|=||<ε.

Cл-е Если сходится , то  сходится.

Абсолютная сходимость

Если сходятся I= и , то I – абсолютно сходящийся, а f(x) – абс. интегрируемая на [a,+∞).

Если I= сходится, а  расходится, то I – условно сходящийся.

Если f(x) абс. интегрируема на [a,+∞), а g(x) ограничена, то (f(x)·g(x)) абс. интегрируема на [a,+∞).

Признак Абеля

Пусть f(x) интегрируема на [a,+∞),  сходится (м. б. не абс-но); g(x) монотонна и ограничена (|g(x)|≤L). Тогда  сходится.

По т. о среднем =g(A)+g(A) , A≤m≤B.

По условию ε>0 B,A>a       ||<ε/2L  ||<ε/2L, ||<ε/2L.

<ε

Признак Дирихле

Пусть f(x) интегрируема в  конечном [a,A],  ограничен; g(x) монотонно →0 при x→∞. Тогда  сходится.

Несобственные ∫ от неогранич. ф-ий=, где b – особая точка,в к-й f(x) не ограничена.

Точки ±∞ всегда особые.

=F(x)=F(b)-F(a), т. е. несобств. ∫ сущ-ет  сущ-ет конечный F(b-h)=F(b).

Признак сходимости

 сходится при f(x)>0  h>0 ≤const.

Признак Коши

Пусть для x→b f(x)=, k>0. Тогда при k<1, g(x)≤C<∞  сходится; при k≥1, g(x)≥C>0  расходится.

Св-ва

1) f(x) интегр-ма в [b,a]  f(x) интегр-ма в [a,b] и =

= -.

2) f(x) интегр-ма в [a,b]  х[a,b]  Ф(х)=. При этом если в х0 f(x) непрерывна, то  Ф’(х)=f(x).

Также вып-ся св-ва 3, 4, 5, 6 ∫ Римана.

Теоремы о среднем

1) Пусть f(x), g(x) интегрируемы на [a,b] , m≤f(x)≤M , g(x) не меняет знака. Тогда (f(x)·g(x)) интегрируемо на [a,b] , =k , где k[m,M].

2) Пусть f(x) монотонна и ограничена на [a,b] , g(x) интегрируема на [a,b]. Тогда  =f(a)+f(b) , где k[a,b].

Также для несобственных ∫ определено интегрирование по частям ( только  ) и замена переменных.

Скачать файл